Um cilindro maciço e alumínio (liga 6061) com comprimento L=0,5 m e diâmetro D=0,2 m é resfriado por imersão em um tanque com água a 20^circ C. O cilindro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme e 200^circ C e possui as seguintes propriedades:
Condutividade térmica: 167 W / m K;
Densidade =2700 kg / m 3;
Calor específico =900 J / kg K
O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do cilindro é 100 W / m^2 K.
Calcule o número de Biot e determine se o método da capacitância global é aplicável.

Passo 1

Beleza, esse exercício trata de transferência de calor! Temos um cilindro de alumínio que está sendo resfriado em água. As informações que a gente tem são o comprimento, diâmetro, temperatura inicial, propriedades térmicas do alumínio e o coeficiente de transferência de calor por convecção da água. Nosso objetivo é calcular o número de Biot e ver se podemos usar o método da capacitância global para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número de Biot. O número de Biot, representado por Bi, é uma dimensão que relaciona a resistência térmica interna do objeto com a resistência térmica na superfície. Ele nos ajuda a entender se a temperatura dentro do objeto é praticamente uniforme ou se varia significativamente de dentro para fora.
A fórmula do número de Biot é:
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • Lc é o comprimento característico,
  • k é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o comprimento característico Lc. Para formas simples, como cilindros, o comprimento característico pode ser o raio ou metade do diâmetro. Geralmente, usamos o raio para cilindros.
Dado que o diâmetro D é 0,2 , m, o raio r será:
r = D2 = 0,22 = 0,1 , m
Então, nosso comprimento característico Lc é 0,1 , m.

Passo 4

Vamos agora calcular o número de Biot usando a fórmula mencionada:
Bi = h cdot Lck
Substituindo os valores:
  • h = 100 , W/m^2K
  • Lc = 0,1 , m
  • k = 167 , W/mcdotK
Bi = 100 times 0,1167 = 10167 approx 0,06

Passo 5

Agora que temos o número de Biot, precisamos interpretar esse valor. Em geral:
  • Se Bi ll 1, a resistência térmica interna é muito menor que a resistência na superfície, o que significa que a temperatura dentro do objeto é praticamente uniforme. Nesse caso, o método da capacitância global é aplicável.
  • Se Bi >= 0,1, a temperatura interna varia significativamente, e métodos mais detalhados são necessários.
No nosso caso, Bi approx 0,06, que é menor que 0,1. Portanto, podemos considerar que a temperatura no cilindro é quase uniforme.

Resposta

O número de Biot é aproximadamente 0,06. Como Bi < 0,1, o método da capacitância global é aplicável para este caso.

Exercícios relacionados