Um cilindro de massa 8 kg rola sem deslizar sobre uma superfície plana e lisa. Uma corda é enrolada em uma polia muito leve presa ao cilindro como mostrado. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal
é aplicada na corda como mostrado. O raio do cilindro é de 400 mm e o raio da polia é de 160 mm .
c)
máximo valor da força P , se a força de atrito estático tem valor máximo de 100 N .
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro de 8 kg rolando sem deslizar sobre uma superfície lisa. Tem uma corda enrolada em uma polia presa ao cilindro, e aplicamos uma força horizontal $ \mathbf{P} $ na corda. O raio do cilindro é 400 mm (ou 0,4 m) e o da polia é 160 mm (ou 0,16 m). Queremos descobrir o valor máximo da força $ P $ que podemos aplicar sem que a força de atrito estático ultrapasse 100 N. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, torque e condições de rolagem sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no cilindro. Temos:
- A força $ P $ puxando a corda na polia.
- A força de atrito $ f $ que impede o deslizamento do cilindro.
- O peso do cilindro $ mg $ atuando para baixo.
- A força normal $ N $ atuando para cima.
Como a superfície é lisa, não há outras forças horizontais além de $ P $ e $ f $.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para as forças horizontais. A força resultante na horizontal é $ P - f $, que é igual à massa vezes a aceleração $ a $ do cilindro:
Passo 4
Agora, vamos considerar os momentos (ou torques) no cilindro. A força $ P $ aplicada na polia com raio $ r_p = 0,16 $ m gera um torque $ P \cdot r_p $. A força de atrito $ f $ aplicada na borda do cilindro com raio $ r_c = 0,4 $ m gera um torque $ f \cdot r_c $. A soma desses torques é igual ao momento de inércia $ I $ do cilindro vezes a aceleração angular $ \alpha $:
Passo 5
Para rolar sem deslizar, a aceleração linear $ a $ está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela equação:
Isso significa que $ \alpha = \frac{a}{r_c} $.
Passo 6
O momento de inércia $ I $ de um cilindro sólido em rotação é dado por:
Substituindo isso na equação dos torques:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agora substituir a equação da força horizontal $ P - f = m \cdot a $ na equação dos torques:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Reagrupando os termos:
Finalmente, isolando $ P $:
Passo 8
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Como a força não pode ser negativa nesse contexto, isso indica que atingimos o limite máximo de atrito estático.
Resposta
O valor máximo da força $ P $ que pode ser aplicada é de 500 N.