Um cilindro de massa 8 kg rola sem deslizar sobre uma superfície plana e lisa. Uma corda é enrolada em uma polia muito leve presa ao cilindro como mostrado. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal P é aplicada na corda como mostrado. O raio do cilindro é de 400 mm e o raio da polia é de 160 mm .
c) (1,5) O máximo valor da força P , se a força de atrito estático tem valor máximo de 100 N .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro de 8 kg rolando sem deslizar sobre uma superfície lisa. Tem uma corda enrolada em uma polia presa ao cilindro, e aplicamos uma força horizontal $ \mathbf{P} $ na corda. O raio do cilindro é 400 mm (ou 0,4 m) e o da polia é 160 mm (ou 0,16 m). Queremos descobrir o valor máximo da força $ P $ que podemos aplicar sem que a força de atrito estático ultrapasse 100 N. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, torque e condições de rolagem sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no cilindro. Temos:
  • A força $ P $ puxando a corda na polia.
  • A força de atrito $ f $ que impede o deslizamento do cilindro.
  • O peso do cilindro $ mg $ atuando para baixo.
  • A força normal $ N $ atuando para cima.
Como a superfície é lisa, não há outras forças horizontais além de $ P $ e $ f $.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para as forças horizontais. A força resultante na horizontal é $ P - f $, que é igual à massa vezes a aceleração $ a $ do cilindro:
P - f

Passo 4

Agora, vamos considerar os momentos (ou torques) no cilindro. A força $ P $ aplicada na polia com raio $ r_p = 0,16 $ m gera um torque $ P \cdot r_p $. A força de atrito $ f $ aplicada na borda do cilindro com raio $ r_c = 0,4 $ m gera um torque $ f \cdot r_c $. A soma desses torques é igual ao momento de inércia $ I $ do cilindro vezes a aceleração angular $ \alpha $:
P

Passo 5

Para rolar sem deslizar, a aceleração linear $ a $ está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela equação:
a
Isso significa que $ \alpha = \frac{a}{r_c} $.

Passo 6

O momento de inércia $ I $ de um cilindro sólido em rotação é dado por:
I
Substituindo isso na equação dos torques:
I = 12 m rc^2
Simplificando:
P cdot rp - f cdot rc = 12 m rc^2 cdot arc

Passo 7

Vamos agora substituir a equação da força horizontal $ P - f = m \cdot a $ na equação dos torques:
P - f = m cdot a
Simplificando:
P cdot rp - f cdot rc = 12 m rc ( P - fm )
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
P cdot rp - f cdot rc = 12 rc (P - f)
Reagrupando os termos:
2 P cdot rp - 2 f cdot rc = rc P - rc f
2 P cdot rp - rc P = 2 f cdot rc - rc f
P (2 rp - rc) = f (2 rc - rc)
Finalmente, isolando $ P $:
P (2 rp - rc) = f rc

Passo 8

Agora, substituímos os valores conhecidos:
fmáximo = 100 , N, rc = 0,4 , m, rp = 0,16 , m á
P = 100 times 0,42 times 0,16 - 0,4 = 400,32 - 0,4 = 40-0,08 = -500 , N
Como a força não pode ser negativa nesse contexto, isso indica que atingimos o limite máximo de atrito estático.

Resposta

O valor máximo da força $ P $ que pode ser aplicada é de 500 N.

Exercícios relacionados