Um cilindro de massa 8 kg rola sem deslizar sobre uma superfície plana e lisa. Uma corda é enrolada em uma polia muito leve presa ao cilindro como mostrado. O cilindro está em repouso quando uma força horizontal
é aplicada na corda como mostrado. O raio do cilindro é de 400 mm e o raio da polia é de 160 mm .
b)
aceleração linear do centro de massa.
b)
Passo 1
Vamos lá! Temos um cilindro de 8 kg que está rolando sem deslizar sobre uma superfície plana e lisa. Uma corda está enrolada em uma polia presa ao cilindro, e uma força horizontal $ \mathbf{P} $ está sendo aplicada nessa corda. O raio do cilindro é de 400 mm (ou 0,4 m) e o raio da polia é de 160 mm (ou 0,16 m). Precisamos encontrar a aceleração linear do centro de massa do cilindro. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dinâmica de rotação e a condição de rolamento sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema. Temos:
- A força aplicada $ \mathbf{P} $ na corda.
- O peso do cilindro $ \mathbf{mg} $, onde $ m = 8 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
- A força normal $ \mathbf{N} $ da superfície sobre o cilindro.
- A força de atrito estático $ \mathbf{f} $, que impede o deslizamento.
Como a superfície é lisa, não há atrito cinético, mas precisamos considerar o atrito estático para o rolamento sem deslizar.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do centro de massa do cilindro. A soma das forças na direção horizontal é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, $ P $ é a força aplicada, $ f $ é a força de atrito estático e $ a $ é a aceleração linear que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos considerar a rotação do cilindro. A força de atrito gera um torque que causa a rotação. A segunda lei de Newton para a rotação é:
Onde:
- $ \tau $ é o torque,
- $ I $ é o momento de inércia do cilindro,
- $ \alpha $ é a aceleração angular.
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que, para um objeto que rola sem deslizar, há uma relação entre a aceleração linear $ a $ e a aceleração angular $ \alpha $:
Portanto, podemos substituir $ \alpha $ por $ \frac{a}{r} $ na equação da força de atrito:
Passo 6
Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton para a tradução:
Substituindo $ f $ por $ \frac{1}{2} m a $:
Vamos resolver para $ a $:
Resposta
A aceleração linear do centro de massa é $ a = \frac{2P}{3m} $. Substituindo os valores dados:
Portanto, a aceleração linear do centro de massa é $ \frac{P}{12} , m/s^2 $.