Um cilindro de material não condutor, de comprimento infinito e raio igual a 1 cm , no espaço livre, está centrado com a origem, segundo a direção , tendo uma distribuição volumétrica de carga . Determine o campo elêtrico cm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro infinito, não condutor, com raio de 1 cm e uma distribuição de carga volumétrica de . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico nesse cilindro, especificamente para . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como a simetria cilíndrica desse problema. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies gaussianas e como aplicar a Lei de Gauss nessa configuração.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. No caso de um cilindro infinito com simetria cilíndrica, o melhor a fazer é escolher um cilindro imaginário que seja co-central com o cilindro de carga e que tenha o mesmo eixo. Nosso cilindro gaussiano terá raio (que é o ponto onde queremos encontrar o campo elétrico) e comprimento . Assim, estamos alinhando nossa superfície gaussiana com a simetria do problema, o que simplifica bastante as contas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância do eixo e será radial (saindo ou entrando perpendicularmente ao cilindro). O fluxo elétrico, que é a integral de sobre a superfície gaussiana, simplifica para:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total encerrada dividida por (permitividade do vácuo):
A carga encerrada é a carga volumétrica vezes o volume do cilindro gaussiano:
Substituindo na equação do fluxo:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Vamos substituir os valores fornecidos:
Substituindo:

Resposta

O campo elétrico no ponto é aproximadamente na direção radial.

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