Um cilindro de material não condutor, de comprimento infinito e raio igual a 1 cm , no espaço livre, está centrado com a origem, segundo a direção
, tendo uma distribuição volumétrica de carga
. Determine o campo elêtrico cm
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro infinito, não condutor, com raio de 1 cm e uma distribuição de carga volumétrica de
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico nesse cilindro, especificamente para
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como a simetria cilíndrica desse problema. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies gaussianas e como aplicar a Lei de Gauss nessa configuração.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. No caso de um cilindro infinito com simetria cilíndrica, o melhor a fazer é escolher um cilindro imaginário que seja co-central com o cilindro de carga e que tenha o mesmo eixo. Nosso cilindro gaussiano terá raio
(que é o ponto onde queremos encontrar o campo elétrico) e comprimento
. Assim, estamos alinhando nossa superfície gaussiana com a simetria do problema, o que simplifica bastante as contas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância
do eixo e será radial (saindo ou entrando perpendicularmente ao cilindro). O fluxo elétrico, que é a integral de
sobre a superfície gaussiana, simplifica para:
Aqui,
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total encerrada dividida por
(permitividade do vácuo):
A carga encerrada
é a carga volumétrica
vezes o volume do cilindro gaussiano:
Substituindo na equação do fluxo:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Vamos substituir os valores fornecidos:
Substituindo:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é aproximadamente
na direção radial.