Um cilindro de material não condutor, de comprimento infinito e raio igual a 1 cm , no espaço livre, está centrado com a origem, segundo a direção z, tendo uma distribuição volumétrica de carga rho v=10 nC / m^3. Determine o campo elêtrico cm r=0,5 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro infinito, não condutor, com raio de 1 cm e uma distribuição de carga volumétrica de rhov = 10 nC/m^3. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico nesse cilindro, especificamente para r = 0,5 cm. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com simetria, como a simetria cilíndrica desse problema. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies gaussianas e como aplicar a Lei de Gauss nessa configuração.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada. No caso de um cilindro infinito com simetria cilíndrica, o melhor a fazer é escolher um cilindro imaginário que seja co-central com o cilindro de carga e que tenha o mesmo eixo. Nosso cilindro gaussiano terá raio r = 0,5 cm (que é o ponto onde queremos encontrar o campo elétrico) e comprimento L. Assim, estamos alinhando nossa superfície gaussiana com a simetria do problema, o que simplifica bastante as contas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico E terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância r do eixo e será radial (saindo ou entrando perpendicularmente ao cilindro). O fluxo elétrico, que é a integral de E cdot dA sobre a superfície gaussiana, simplifica para:
Phi = E cdot 2pi r L
Aqui, 2pi r L é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é igual à carga total encerrada dividida por varepsilon0 (permitividade do vácuo):
Phi = Qencvarepsilon0
A carga encerrada Qenc é a carga volumétrica rhov vezes o volume do cilindro gaussiano:
Qenc = rhov cdot pi r^2 L
Substituindo na equação do fluxo:
E cdot 2pi r L = rhov cdot pi r^2 Lvarepsilon0

Passo 5

Agora, vamos resolver para E:
E = rhov r2 varepsilon0
Vamos substituir os valores fornecidos:
  • rhov = 10 nC/m^3 = 10 times 10^-9 C/m^3
  • r = 0,5 cm = 0,005 m
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 C^2/(Ncdotm^2)
Substituindo:
E = 10 times 10^-9 C/m^3 times 0,005 m2 times 8,85 times 10^-12 C^2/(Ncdotm^2)
E = 5 times 10^-11 C/(Ncdotm)1,77 times 10^-11 C^2/(Ncdotm^2)
E approx 2,82 N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto r = 0,5 cm é aproximadamente 2,8 N/C na direção radial.

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