Considere um cubo de dimensões -2 <= x <= 2 m,-2 <= y <= 2 m e 0 <= z <= 4 m no espaço livre ou vácuo. Sabe-se que o plano Z=2 m é uma superficie infinita de carga, que contém uma densidade superficial de carga rhos=10 nC / m^2. Uma linha de carga de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga de - 10 nC / m está paralela ao eixo y passando pelo ponto (x=0, y=0, z=1). Determine: a) o fluxo elétrico total através do cubo, b) O campo elétrico total no ponto (x=0, y=4, z=3), produzido pelas duas distribuições de carga

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cubo no espaço com certas dimensões e duas distribuições de carga: uma superfície carregada no plano metros e uma linha de carga infinita paralela ao eixo . A gente precisa calcular:
a) O fluxo elétrico total que passa pelo cubo.
b) O campo elétrico no ponto específico produzido por essas cargas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Gauss para o fluxo elétrico e superposição de campos elétricos para calcular o campo total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo elétrico total através do cubo. Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
A Lei de Gauss é dada por:
PhiE = ointsuperfície E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 í
onde:
  • é o fluxo elétrico,
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Vamos identificar as cargas que estão dentro do cubo m, m, m.
  1. Superfície carregada no plano m:
    • Essa é uma superfície infinita, mas dentro do cubo, apenas a parte que está entre m e m está presente.
    • Como o plano está em m, ele está dentro do cubo.
    • A densidade superficial é .
  2. Linha de carga infinita paralela ao eixo :
    • Ela passa pelo ponto .
    • A densidade linear é .
    • Precisamos ver se parte dessa linha está dentro do cubo.

Passo 4

Vamos calcular a carga total dentro do cubo.
  1. Carga da superfície:
    • Como a superfície é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, a área da parte da superfície dentro do cubo é:
Área = comprimento em x times comprimento em y = (2 - (-2)) times (2 - (-2)) = 4 times 4 = 16 , m^2 Á
  • Então, a carga na superfície dentro do cubo é:
Qsuperfície = rhos times Área = 10 times 10^-9 , C/m^2 times 16 , m^2 = 1,6 times 10^-7 , C íÁ
  1. Carga da linha:
    • A linha passa por m, que está dentro do cubo m.
    • Como a linha é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, o comprimento da linha dentro do cubo é infinito, o que implicaria uma carga infinita. Porém, isso não faz sentido físico nesse contexto.
    • Na verdade, como a linha é infinita e o cubo tem dimensões finitas, a contribuição líquida do fluxo devido a uma linha infinita que atravessa o cubo será zero, pois o campo entra por um lado e sai pelo outro de forma simétrica.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico total através do cubo será:
PhiE = Qdentrovarepsilon0
Considerando que a carga da linha não contribui para o fluxo total devido à simetria, a carga total dentro do cubo é apenas a da superfície:
Qdentro = Qsuperfície = 1,6 times 10^-7 , C í
Então,
PhiE = 1,6 times 10^-7 , C8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 approx 1,81 times 10^4 , Ncdotm^2/C

Resposta

a) O fluxo elétrico total através do cubo é aproximadamente .

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