Considere um cubo de dimensões e no espaço livre ou vácuo. Sabe-se que o plano é uma superficie infinita de carga, que contém uma densidade superficial de carga . Uma linha de carga de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga de - está paralela ao eixo y passando pelo ponto . Determine: a) o fluxo elétrico total através do cubo, b) O campo elétrico total no ponto , produzido pelas duas distribuições de carga

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cubo no espaço com certas dimensões e duas distribuições de carga: uma superfície carregada no plano metros e uma linha de carga infinita paralela ao eixo . A gente precisa calcular:
a) O fluxo elétrico total que passa pelo cubo.
b) O campo elétrico no ponto específico produzido por essas cargas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Gauss para o fluxo elétrico e superposição de campos elétricos para calcular o campo total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo elétrico total através do cubo. Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
A Lei de Gauss é dada por:
í
onde:
  • é o fluxo elétrico,
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 3

Vamos identificar as cargas que estão dentro do cubo m, m, m.
  1. Superfície carregada no plano m:
    • Essa é uma superfície infinita, mas dentro do cubo, apenas a parte que está entre m e m está presente.
    • Como o plano está em m, ele está dentro do cubo.
    • A densidade superficial é .
  2. Linha de carga infinita paralela ao eixo :
    • Ela passa pelo ponto .
    • A densidade linear é .
    • Precisamos ver se parte dessa linha está dentro do cubo.

Passo 4

Vamos calcular a carga total dentro do cubo.
  1. Carga da superfície:
    • Como a superfície é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, a área da parte da superfície dentro do cubo é:
Á
  • Então, a carga na superfície dentro do cubo é:
íÁ
  1. Carga da linha:
    • A linha passa por m, que está dentro do cubo m.
    • Como a linha é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, o comprimento da linha dentro do cubo é infinito, o que implicaria uma carga infinita. Porém, isso não faz sentido físico nesse contexto.
    • Na verdade, como a linha é infinita e o cubo tem dimensões finitas, a contribuição líquida do fluxo devido a uma linha infinita que atravessa o cubo será zero, pois o campo entra por um lado e sai pelo outro de forma simétrica.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico total através do cubo será:
Considerando que a carga da linha não contribui para o fluxo total devido à simetria, a carga total dentro do cubo é apenas a da superfície:
í
Então,

Resposta

a) O fluxo elétrico total através do cubo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um cilindro de material não condutor, de comprimento infinito e raio igual a 1 cm , no espaço livre, está centrado com a origem, segundo a direção , tendo uma distribuição volumétrica de carga . Determine o campo elêtrico cm .
Um corpo de é preso a uma mola horizontal. Ela é inicialmente esticada por , e o corpo é liberado do repouso ali. Ele prossegue para se mover sem atrito. A próxima vez em que a velocidade do corpo é zero é depois. Qual é a velocidade máxima do corpo? Resp: .
Uma carga puntiforme positiva está circundada por uma superfície Gaussiana de raio igual a , centralizada sobre a carga. Calcule o fluxo elétrico resultante através da esfera.
Calcule a aceleração angular da roda em função do tempo, .