Considere um cubo de dimensões
e
no espaço livre ou vácuo. Sabe-se que o plano
é uma superficie infinita de carga, que contém uma densidade superficial de carga
. Uma linha de carga de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga de -
está paralela ao eixo y passando pelo ponto
. Determine: a) o fluxo elétrico total através do cubo, b) O campo elétrico total no ponto
, produzido pelas duas distribuições de carga
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cubo no espaço com certas dimensões e duas distribuições de carga: uma superfície carregada no plano
metros e uma linha de carga infinita paralela ao eixo
. A gente precisa calcular:
a) O fluxo elétrico total que passa pelo cubo.
b) O campo elétrico no ponto específico
produzido por essas cargas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Gauss para o fluxo elétrico e superposição de campos elétricos para calcular o campo total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo elétrico total através do cubo. Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
A Lei de Gauss é dada por:
onde:
-
é o fluxo elétrico, -
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo ( ).
Passo 3
Vamos identificar as cargas que estão dentro do cubo
m,
m,
m.
-
Superfície carregada no plano
m: - Essa é uma superfície infinita, mas dentro do cubo, apenas a parte que está entre
m e m está presente. - Como o plano está em
m, ele está dentro do cubo. - A densidade superficial é
.
- Essa é uma superfície infinita, mas dentro do cubo, apenas a parte que está entre
-
Linha de carga infinita paralela ao eixo
: - Ela passa pelo ponto
. - A densidade linear é
. - Precisamos ver se parte dessa linha está dentro do cubo.
- Ela passa pelo ponto
Passo 4
Vamos calcular a carga total dentro do cubo.
- Carga da superfície:
- Como a superfície é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, a área da parte da superfície dentro do cubo é:
- Então, a carga na superfície dentro do cubo é:
- Carga da linha:
- A linha passa por
m, que está dentro do cubo m. - Como a linha é infinita, mas estamos considerando apenas a parte dentro do cubo, o comprimento da linha dentro do cubo é infinito, o que implicaria uma carga infinita. Porém, isso não faz sentido físico nesse contexto.
- Na verdade, como a linha é infinita e o cubo tem dimensões finitas, a contribuição líquida do fluxo devido a uma linha infinita que atravessa o cubo será zero, pois o campo entra por um lado e sai pelo outro de forma simétrica.
- A linha passa por
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico total através do cubo será:
Considerando que a carga da linha não contribui para o fluxo total devido à simetria, a carga total dentro do cubo é apenas a da superfície:
Então,
Resposta
a) O fluxo elétrico total através do cubo é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um cilindro de material não condutor, de comprimento infinito e raio igual a 1 cm , no espaço livre, está centrado com a origem, segundo a direção
, tendo uma distribuição volumétrica de carga
. Determine o campo elêtrico cm
.
Um corpo de
é preso a uma mola horizontal. Ela é inicialmente esticada por
, e o corpo é liberado do repouso ali. Ele prossegue para se mover sem atrito. A próxima vez em que a velocidade do corpo é zero é
depois. Qual é a velocidade máxima do corpo? Resp:
.
Uma carga puntiforme positiva
está circundada por uma superfície Gaussiana de raio igual a
, centralizada sobre a carga. Calcule o fluxo elétrico resultante através da esfera.
Calcule a aceleração angular da roda em função do tempo,
.