Um cilindro metálico carregado, de 5 cm de raio, desloca-se ao longo do seu eixo com uma velocidade constante, de
. O campo elétrico radial produzido pelas cargas, na superfície lateral do cilindro, é de
. Qual é a intensidade da corrente devida ao movimento do cilindro?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro metálico carregado que está se movendo ao longo do seu eixo. Precisamos descobrir a intensidade da corrente que surge por causa desse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e corrente elétrica. Vamos precisar entender como o campo elétrico está relacionado à carga no cilindro e como o movimento dessa carga gera uma corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que nos foi dado:
- Raio do cilindro ®: 5 cm
- Velocidade do cilindro (v): 10 cm/s
- Campo elétrico na superfície (E): 500 V/cm
Nossa meta é encontrar a intensidade da corrente elétrica (I) gerada pelo movimento do cilindro.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar a densidade linear de carga (λ) no cilindro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao redor de um objeto com a carga que ele possui.
Para um cilindro longo e carregado, a Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
- $ E $ é o campo elétrico,
- $ r $ é o raio do cilindro,
- $ \lambda $ é a densidade linear de carga,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $).
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar $ \lambda $:
Substituindo os valores conhecidos (lembrando que precisamos converter as unidades para o SI):
- $ E = 500 , V/cm = 5 \times 10^4 , V/m $
- $ r = 5 , cm = 0,05 , m $
Então:
Passo 5
Vamos calcular $ \lambda $:
Primeiro, multiplicamos os números:
Então, $ \lambda \approx 1,39 \times 10^{-7} , C/m $.
Passo 6
Agora que temos a densidade linear de carga, podemos encontrar a corrente elétrica (I) gerada pelo movimento do cilindro. A corrente é basicamente a quantidade de carga que passa por uma seção transversal por unidade de tempo. Como o cilindro está se movendo com velocidade $ v $, a corrente é dada por:
Onde:
- $ \lambda $ é a densidade linear de carga,
- $ v $ é a velocidade.
Passo 7
Vamos calcular $ I $:
Primeiro, convertemos a velocidade para metros por segundo:
Então:
Resposta
A intensidade da corrente devida ao movimento do cilindro é de aproximadamente $ 1,39 \times 10^{-8} , A $.