Um cilindro metálico carregado, de 5 cm de raio, desloca-se ao longo do seu eixo com uma velocidade constante, de 10 cm / s. O campo elétrico radial produzido pelas cargas, na superfície lateral do cilindro, é de 500 V / cm. Qual é a intensidade da corrente devida ao movimento do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro metálico carregado que está se movendo ao longo do seu eixo. Precisamos descobrir a intensidade da corrente que surge por causa desse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e corrente elétrica. Vamos precisar entender como o campo elétrico está relacionado à carga no cilindro e como o movimento dessa carga gera uma corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que nos foi dado:
  • Raio do cilindro ®: 5 cm
  • Velocidade do cilindro (v): 10 cm/s
  • Campo elétrico na superfície (E): 500 V/cm
Nossa meta é encontrar a intensidade da corrente elétrica (I) gerada pelo movimento do cilindro.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar a densidade linear de carga (λ) no cilindro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao redor de um objeto com a carga que ele possui.
Para um cilindro longo e carregado, a Lei de Gauss nos diz que:
E cdot 2pi r = lambdavarepsilon0
Onde:
  • $ E $ é o campo elétrico,
  • $ r $ é o raio do cilindro,
  • $ \lambda $ é a densidade linear de carga,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $).

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar $ \lambda $:
lambda
Substituindo os valores conhecidos (lembrando que precisamos converter as unidades para o SI):
  • $ E = 500 , V/cm = 5 \times 10^4 , V/m $
  • $ r = 5 , cm = 0,05 , m $
Então:
lambda = E cdot 2pi r cdot varepsilon0

Passo 5

Vamos calcular $ \lambda $:
lambda
Primeiro, multiplicamos os números:
lambda = 5 times 10^4 times 2 times 3,1416 times 0,05 times 8,85 times 10^-12
5 times 10^4 times 2 = 10^5
10^5 times 3,1416 = 3,1416 times 10^5
3,1416 times 10^5 times 0,05 = 1,5708 times 10^4
Então, $ \lambda \approx 1,39 \times 10^{-7} , C/m $.

Passo 6

Agora que temos a densidade linear de carga, podemos encontrar a corrente elétrica (I) gerada pelo movimento do cilindro. A corrente é basicamente a quantidade de carga que passa por uma seção transversal por unidade de tempo. Como o cilindro está se movendo com velocidade $ v $, a corrente é dada por:
v
Onde:
  • $ \lambda $ é a densidade linear de carga,
  • $ v $ é a velocidade.

Passo 7

Vamos calcular $ I $:
I
Primeiro, convertemos a velocidade para metros por segundo:
I = 1,39 times 10^-7 , C/m times 10 , cm/s
Então:
10 , cm/s = 0,1 , m/s

Resposta

A intensidade da corrente devida ao movimento do cilindro é de aproximadamente $ 1,39 \times 10^{-8} , A $.

Exercícios relacionados