Um cilindro de raio R contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. O campo é zero do lado de fora do cilindro. Se o módulo do campo magnético está variando a uma taxa dB / dt, qual é o campo elétrico induzido em um ponto a uma distância 2R do eixo do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro com um campo magnético uniforme dentro dele e zero fora. Esse campo está mudando com o tempo, ou seja, não é zero. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico induzido em um ponto que está a uma distância do centro do cilindro. Vamos precisar usar as leis do indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que nos diz que uma variação no fluxo magnético cria um campo elétrico. A fórmula é:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Aqui, representa a circulação do campo elétrico ao redor de um caminho fechado, e é o fluxo magnético passando por esse caminho.

Passo 3

Vamos definir o caminho para calcular a circulação do campo elétrico. Como o ponto onde queremos o campo está a do centro, escolhemos um círculo de raio centrado no eixo do cilindro. Devido à simetria, o campo elétrico será constante ao longo desse caminho e tangente ao círculo.

Passo 4

Calculamos a circulação do campo elétrico:
oint E cdot dl = E cdot 2pi cdot 2R = 4pi R E
Aqui, é o valor do campo elétrico que queremos encontrar, é o perímetro do círculo de raio .

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo magnético PhiB = B cdot pi R^2 através do círculo de raio . Sabemos que o campo magnético fora do cilindro é zero, então o único fluxo que contribui é o de dentro do cilindro, ou seja, no raio :
Onde é o campo magnético dentro do cilindro.

Passo 6

Derivamos o fluxo magnético em relação ao tempo:
dPhiBdt = dBdt cdot pi R^2
Dado que é a taxa de variação do campo magnético.

Passo 7

Aplicamos a Lei de Faraday:
4pi R E = -dPhiBdt = -dBdt cdot pi R^2
Agora, isolamos E = -dBdt cdot pi R^24pi R = -R4 cdot dBdt :

Resposta

O campo elétrico induzido a uma distância E = -R4 cdot dBdt do eixo do cilindro é:

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