Um cilindro de raio R contém um campo magnético uniforme paralelo ao eixo do cilindro. O campo é zero do lado de fora do cilindro. Se o módulo do campo magnético está variando a uma taxa
, qual é o campo elétrico induzido em um ponto a uma distância 2R do eixo do cilindro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro com um campo magnético uniforme dentro dele e zero fora. Esse campo está mudando com o tempo, ou seja,
não é zero. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico induzido em um ponto que está a uma distância
do centro do cilindro. Vamos precisar usar as leis do indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que nos diz que uma variação no fluxo magnético cria um campo elétrico. A fórmula é:
Aqui,
representa a circulação do campo elétrico ao redor de um caminho fechado, e
é o fluxo magnético passando por esse caminho.
Passo 3
Vamos definir o caminho para calcular a circulação do campo elétrico. Como o ponto onde queremos o campo está a
do centro, escolhemos um círculo de raio
centrado no eixo do cilindro. Devido à simetria, o campo elétrico
será constante ao longo desse caminho e tangente ao círculo.
Passo 4
Calculamos a circulação do campo elétrico:
Aqui,
é o valor do campo elétrico que queremos encontrar,
é o perímetro do círculo de raio
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo magnético
através do círculo de raio
. Sabemos que o campo magnético fora do cilindro é zero, então o único fluxo que contribui é o de dentro do cilindro, ou seja, no raio
:
Onde
é o campo magnético dentro do cilindro.
Passo 6
Derivamos o fluxo magnético em relação ao tempo:
Dado que
é a taxa de variação do campo magnético.
Passo 7
Aplicamos a Lei de Faraday:
Agora, isolamos
:
Resposta
O campo elétrico induzido a uma distância
do eixo do cilindro é: