Uma pequena esfera carregada positivamente tem massa de 1,00 g e cai do repouso no vácuo de uma altura de de 5,00 m em um campo elétrico vertical uniforme com magnitude de 1,00 times 10^4 N / C. A esfera atinge o solo a uma velocidade de 21,0 m / s. Determine o sentido do campo elétrico (para cima ou para baixo) e a carga na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pequena esfera carregada positivamente, com uma massa de , que cai do repouso de uma altura de em um campo elétrico vertical uniforme de magnitude . Quando ela chega ao chão, sua velocidade é de . Nosso objetivo é descobrir em qual direção está o campo elétrico (para cima ou para baixo) e qual é a carga na esfera. Vamos usar conceitos de cinemática e eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa de gramas para quilogramas, já que as unidades do Sistema Internacional (SI) para massa é o quilograma. Então,
m = 1,00 , g = 0,001 , kg

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento da esfera. Como ela cai do repouso, podemos usar a equação da velocidade final para movimento uniformemente acelerado:
v = v0 + a t
Onde:
  • s = v0 t + 12 a t^2 é a velocidade final ( 5,00 = 12 a t^2 ),
  • é a velocidade inicial ( , já que parte do repouso),
  • é a aceleração,
  • é o tempo de queda.
Mas antes de calcular a aceleração, vamos relacionar a distância percorrida com o tempo. Usamos a equação:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Para resolver essas duas equações, precisamos eliminar o tempo t = va . Da primeira equação:
5,00 = 12 a (va)^2 = 12 a (v^2a^2) = v^22a
Substituindo na segunda equação:
a = v^22s = (21,0)^22 times 5,00 = 44110 = 44,1 , m/s^2
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora que temos a aceleração, vamos considerar as forças atuando na esfera. Existem duas forças principais:
  1. Força gravitacional (peso): Sigma F = m a , agindo para baixo.
  2. Força elétrica: Fe - Fg = m a , onde q E - m g = m a é a carga na esfera e é o campo elétrico. A direção dessa força depende da direção do campo e do sinal da carga.
A segunda lei de Newton nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Considerando para cima como positiva, temos:
Ou seja:

Passo 6

Queremos encontrar a carga q E = m a + m g = m (a + g) . Reorganizando a equação:
q times 1,00 times 10^4 = 0,001 times (44,1 + 9,81)
Onde q times 1,00 times 10^4 = 0,001 times 53,91 = 0,05391 é a aceleração da gravidade ( q = 0,053911,00 times 10^4 = 5,391 times 10^-6 , C ).
Substituindo os valores:
Portanto,

Passo 7

Agora, vamos determinar a direção do campo elétrico. A esfera está carregada positivamente, e a força elétrica está atuando para cima (pois é positivo). Isso significa que o campo elétrico está na mesma direção da força elétrica, ou seja, para cima.

Resposta

O campo elétrico está direcionado para cima e a carga na esfera é de .

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