Um cilindro de raio R e comprimento L, contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas rho(z^prime). Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (b) rho(z^prime)=rho0 z^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro com raio R e comprimento L, e a densidade de carga elétrica varia ao longo do eixo z conforme rho(z') = rho0 z'. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico em pontos que estão no eixo de simetria desse cilindro.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o cálculo de potencial elétrico e campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Também vamos utilizar integração para somar as contribuições de todas as cargas presentes no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o potencial elétrico ( V) e o campo elétrico ( E) em um ponto no eixo de simetria. O potencial elétrico é uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga. Já o campo elétrico é a força por unidade de carga que uma carga de teste sentiria nesse ponto.
Como a densidade de carga varia com z', precisamos integrar ao longo do comprimento do cilindro para encontrar essas quantidades.

Passo 3

Vamos começar calculando o potencial elétrico V em um ponto no eixo de simetria. A expressão para o potencial devido a uma carga infinitesimal dq em uma distância r é:
dV = 14piepsilon0 dqr
No nosso caso, consideramos um ponto no eixo de simetria a uma distância z de uma das extremidades do cilindro. A distância entre uma carga no cilindro em z' e o ponto no eixo será |z - z'|.

Passo 4

A densidade de carga volumétrica é dada por rho(z') = rho0 z'. A carga infinitesimal dq em um elemento de comprimento dz' será:
dq = rho(z') cdot dV = rho0 z' cdot pi R^2 dz'
Aqui, pi R^2 é a área da base do cilindro, e dz' é o elemento de comprimento.

Passo 5

Substituindo dq na expressão de dV, temos:
dV = 14piepsilon0 rho0 z' pi R^2 dz'|z - z'|
Simplificando a expressão:
dV = rho0 R^24epsilon0 z'|z - z'| dz'

Passo 6

Para encontrar o potencial total V, integramos dV ao longo de todo o comprimento do cilindro, ou seja, de z' = 0 até z' = L:
V = rho0 R^24epsilon0 integral0^L z'|z - z'| dz'
Como estamos no eixo de simetria e assumindo z > z', podemos simplificar o módulo:
V = rho0 R^24epsilon0 integral0^L z'z - z' dz'

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
u = z - z' Rightarrow du = -dz' Rightarrow dz' = -du
Quando z' = 0, u = z, e quando z' = L, u = z - L. Substituindo na integral:
V = rho0 R^24epsilon0 integralz^z - L z - uu (-du)
Simplificando os limites e a expressão:
V = rho0 R^24epsilon0 integralz - L^z ( zu - 1 ) du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
V = rho0 R^24epsilon0 [ z ln|u| - u ]z - L^z
Substituindo os limites:
V = rho0 R^24epsilon0 [ z ln|z| - z - (z ln|z - L| - (z - L)) ]
Simplificando:
V = rho0 R^24epsilon0 [ z ln(zz - L) - L ]

Passo 9

Agora, vamos calcular o campo elétrico E no mesmo ponto. Sabemos que o campo elétrico é relacionado ao potencial elétrico pela relação:
E = -dVdz
Vamos derivar a expressão que encontramos para V em relação a z.

Passo 10

Derivando V:
dVdz = rho0 R^24epsilon0 [ ln(zz - L) + z ( 1z - 1z - L ) - 0 ]
Simplificando:
dVdz = rho0 R^24epsilon0 [ ln(zz - L) + 1 - zz - L ]

Passo 11

Portanto, o campo elétrico E é:
E = -dVdz = -rho0 R^24epsilon0 [ ln(zz - L) + 1 - zz - L ]

Resposta

O potencial elétrico no ponto no eixo de simetria é:
V = rho0 R^24epsilon0 [ z ln(zz - L) - L ]
E o campo elétrico nesse ponto é:
E = -rho0 R^24epsilon0 [ ln(zz - L) + 1 - zz - L ]

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