Um cilindro de raio
e comprimento
, contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas
. Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro com raio
e comprimento
, e a densidade de carga elétrica varia ao longo do eixo
conforme
. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico em pontos que estão no eixo de simetria desse cilindro.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o cálculo de potencial elétrico e campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Também vamos utilizar integração para somar as contribuições de todas as cargas presentes no cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o potencial elétrico (
) e o campo elétrico (
) em um ponto no eixo de simetria. O potencial elétrico é uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga. Já o campo elétrico é a força por unidade de carga que uma carga de teste sentiria nesse ponto.
Como a densidade de carga varia com
, precisamos integrar ao longo do comprimento do cilindro para encontrar essas quantidades.
Passo 3
Vamos começar calculando o potencial elétrico
em um ponto no eixo de simetria. A expressão para o potencial devido a uma carga infinitesimal
em uma distância
é:
No nosso caso, consideramos um ponto no eixo de simetria a uma distância
de uma das extremidades do cilindro. A distância entre uma carga no cilindro em
e o ponto no eixo será
.
Passo 4
A densidade de carga volumétrica é dada por
. A carga infinitesimal
em um elemento de comprimento
será:
Aqui,
é a área da base do cilindro, e
é o elemento de comprimento.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Para encontrar o potencial total
, integramos
ao longo de todo o comprimento do cilindro, ou seja, de
até
:
Como estamos no eixo de simetria e assumindo
, podemos simplificar o módulo:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Simplificando os limites e a expressão:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos calcular o campo elétrico
no mesmo ponto. Sabemos que o campo elétrico é relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Vamos derivar a expressão que encontramos para
em relação a
.
Passo 10
Derivando
:
Simplificando:
Passo 11
Portanto, o campo elétrico
é:
Resposta
O potencial elétrico no ponto no eixo de simetria é:
E o campo elétrico nesse ponto é: