(a) Quais são as componentes de um vetor
no plano
se sua direção é de
, medida a partir do eixo positivo de
no sentido anti-horário, e sua intensidade é de 7,34 unidades? (b) A componente
de um certo vetor é de -25 unidades e sua componente
, +43 unidades. Qual é a intensidade deste vetor e qual é o ângulo entre sua direção e o sentido positivo do eixo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano xy. A questão tem duas partes:
(a) Queremos encontrar as componentes de um vetor
que tem uma direção de
a partir do eixo positivo do x, no sentido anti-horário, e uma intensidade de 7,34 unidades.
(b) Nos dão as componentes x e y de um vetor e precisamos achar a intensidade dele e o ângulo que ele forma com o eixo positivo do x.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria aplicada a vetores, como seno, cosseno e o cálculo de magnitude e direção.
Passo 2
Parte (a): Encontrando as componentes do vetor
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano xy pode ser decomposto nas suas componentes horizontal (x) e vertical (y) usando as funções trigonométricas seno e cosseno.
A fórmula para encontrar as componentes é:
Onde:
-
é a intensidade do vetor. -
é o ângulo que o vetor faz com o eixo x positivo.
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas com os valores dados:
- Intensidade
unidades - Ângulo
Agora, calculamos cada componente:
Passo 4
Vamos calcular os valores de cosseno e seno de
:
Sabemos que
está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, onde tanto o cosseno quanto o seno são negativos.
Calculando:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores nas fórmulas das componentes:
Passo 6
Parte (b): Encontrando a intensidade e o ângulo do vetor
Aqui, nos dão as componentes do vetor:
-
unidades -
unidades
Primeiro, vamos achar a intensidade do vetor usando a fórmula da magnitude:
Depois, para encontrar o ângulo
que o vetor faz com o eixo x positivo, usamos a função arco-tangente:
Passo 7
Calculando a intensidade:
Passo 8
Agora, calculando o ângulo
:
Como
é negativo e
é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Portanto, precisamos ajustar o ângulo obtido pela função arco-tangente.
Calculando:
Mas como estamos no segundo quadrante, adicionamos
:
Resposta
(a) As componentes do vetor
são
unidades e
unidades.
(b) A intensidade do vetor é aproximadamente 49,74 unidades e o ângulo entre sua direção e o sentido positivo do eixo x é
.