(a) Quais são as componentes de um vetor a no plano x y se sua direção é de 252^circ, medida a partir do eixo positivo de x no sentido anti-horário, e sua intensidade é de 7,34 unidades? (b) A componente x de um certo vetor é de -25 unidades e sua componente y, +43 unidades. Qual é a intensidade deste vetor e qual é o ângulo entre sua direção e o sentido positivo do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano xy. A questão tem duas partes:
(a) Queremos encontrar as componentes de um vetor a que tem uma direção de 252^circ a partir do eixo positivo do x, no sentido anti-horário, e uma intensidade de 7,34 unidades.
(b) Nos dão as componentes x e y de um vetor e precisamos achar a intensidade dele e o ângulo que ele forma com o eixo positivo do x.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria aplicada a vetores, como seno, cosseno e o cálculo de magnitude e direção.

Passo 2

Parte (a): Encontrando as componentes do vetor
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano xy pode ser decomposto nas suas componentes horizontal (x) e vertical (y) usando as funções trigonométricas seno e cosseno.
A fórmula para encontrar as componentes é:
ax = |a| cdot cos(theta)
ay = |a| cdot sin(theta)
Onde:
  • |a| é a intensidade do vetor.
  • theta é o ângulo que o vetor faz com o eixo x positivo.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores dados:
  • Intensidade |a| = 7,34 unidades
  • Ângulo theta = 252^circ
Agora, calculamos cada componente:
ax = 7,34 cdot cos(252^circ)
ay = 7,34 cdot sin(252^circ)

Passo 4

Vamos calcular os valores de cosseno e seno de 252^circ:
Sabemos que 252^circ está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, onde tanto o cosseno quanto o seno são negativos.
Calculando:
cos(252^circ) = cos(180^circ + 72^circ) = -cos(72^circ) approx -0,3090
sin(252^circ) = sin(180^circ + 72^circ) = -sin(72^circ) approx -0,9511

Passo 5

Agora, substituímos esses valores nas fórmulas das componentes:
ax = 7,34 cdot (-0,3090) approx -2,27
ay = 7,34 cdot (-0,9511) approx -6,97

Passo 6

Parte (b): Encontrando a intensidade e o ângulo do vetor
Aqui, nos dão as componentes do vetor:
  • ax = -25 unidades
  • ay = +43 unidades
Primeiro, vamos achar a intensidade do vetor usando a fórmula da magnitude:
|v| = raizax^2 + ay^2
Depois, para encontrar o ângulo theta que o vetor faz com o eixo x positivo, usamos a função arco-tangente:
theta = tan^-1(ayax)

Passo 7

Calculando a intensidade:
|v| = raiz(-25)^2 + (43)^2 = raiz625 + 1849 = raiz2474 approx 49,74 unidades

Passo 8

Agora, calculando o ângulo theta:
theta = tan^-1(43-25)
Como ax é negativo e ay é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Portanto, precisamos ajustar o ângulo obtido pela função arco-tangente.
Calculando:
tan^-1(43-25) approx tan^-1(-1,72) approx -60,0^circ
Mas como estamos no segundo quadrante, adicionamos 180^circ:
theta = -60,0^circ + 180^circ = 120,0^circ

Resposta

(a) As componentes do vetor a são ax approx -2,27 unidades e ay approx -6,97 unidades.
(b) A intensidade do vetor é aproximadamente 49,74 unidades e o ângulo entre sua direção e o sentido positivo do eixo x é 120,0^circ.

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