Calcule o potencial elétrico gerado por uma casca esférica de raio
com uma densidade superficial de cargas elétricas dada por
. Calcule também o campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o potencial elétrico gerado por uma casca esférica de raio $ a $ que tem uma densidade superficial de carga variando com o ângulo $ \theta’ $ de acordo com $ \sigma(\theta’) = \sigma_0 \cos \theta’ $. Além disso, também vamos descobrir o campo elétrico resultante dessa distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. Ele nos dá uma ideia da energia por unidade de carga em um ponto no espaço devido a uma distribuição de cargas. Para uma distribuição de carga, o potencial elétrico $ V $ em um ponto $ \mathbf{r} $ é dado pela integral da contribuição de todas as cargas presentes.
Passo 3
Como a densidade de carga $ \sigma(\theta’) $ depende do ângulo $ \theta’ $, isso significa que a distribuição de carga não é uniforme na casca. Essa configuração sugere que vamos usar séries de Legendre para expandir a densidade de carga, já que elas são úteis para resolver problemas com simetria esférica.
Passo 4
A densidade superficial de carga é dada por $ \sigma(\theta’) = \sigma_0 \cos \theta’ $. Podemos notar que $ \cos \theta’ $ é o primeiro termo dos polinômios de Legendre ($ P_1(\cos \theta’) = \cos \theta’ $). Isso significa que nossa distribuição de carga é dominada pelo termo dipolar.
Passo 5
O potencial elétrico $ V(\mathbf{r}) $ devido a uma distribuição de carga superficial é dado por:
Como a distribuição de carga depende apenas de $ \theta’ $, podemos usar a expansão em harmônicos esféricos e simplificar a integral.
Passo 6
Para simplificar, usamos a expansão de $ \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} $ em coordenadas esféricas:
onde $ r_< $ é o menor entre $ r $ e $ a $, $ r_> $ é o maior, e $ \gamma $ é o ângulo entre $ \mathbf{r} $ e $ \mathbf{r}’ $.
Passo 7
Como $ \sigma(\theta’) = \sigma_0 \cos \theta’ $, e sabendo que $ \cos \gamma = \cos \theta \cos \theta’ + \sin \theta \sin \theta’ \cos(\phi - \phi’) $, a integral sobre $ \phi’ $ vai eliminar os termos de ordem superior a $ l=1 $ devido à simetria. Assim, só precisamos considerar $ l=0 $ e $ l=1 $.
Passo 8
Calculando para $ l=0 $:
E para $ l=1 $:
Passo 9
Somando as contribuições:
Esse é o potencial elétrico tanto dentro quanto fora da casca, mas geralmente consideramos $ r > a $ para fora e $ r < a $ para dentro.
Passo 10
Agora, para encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $, usamos a relação:
Calculando o gradiente de $ V $ nas coordenadas esféricas, temos:
Resposta
O potencial elétrico gerado pela casca esférica é dado por
e o campo elétrico correspondente é