Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de 7 times 106 W / m^3. A condutividade térmica do sólido é de 190 W / m.K e a temperatura da sua superfície é mantida a 100^circ C. Calcular:
(i) a temperatura no centro do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme. A gente precisa calcular a temperatura no centro desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor, especificamente a condução em cilindros com geração interna de calor. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor em coordenadas cilíndricas e aplicar a teoria de equilíbrio térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos um cilindro que gera calor por unidade de volume a uma taxa de 7 times 10^6 , W/m^3. A condutividade térmica do material é 190 , W/m cdot K e a superfície do cilindro está a 100^circ C. Queremos saber qual é a temperatura no centro do cilindro.

Passo 3

Vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para estado estacionário, com geração interna de calor. A equação é:
1r ddr ( r dTdr ) + q''' k = 0
Onde:
  • $ T $ é a temperatura.
  • $ r $ é a posição radial.
  • $ q’’’ $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
  • $ k $ é a condutividade térmica.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
r
Agora, integramos em relação a $ r $:
ddr ( r dTdr ) + q''' k r = 0
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por $ r $:
r
Integramos novamente para encontrar $ T® $:
dTdr = -q''' 2k r + C1r
Onde $ C_{2} $ é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} C1 í r = R $) a temperatura é $ 100^{\circ} \mathrm{C} C2 r = 0 $) a temperatura é o que queremos encontrar.
No centro, para evitar que a temperatura não fique infinita (já que $ \ln(0) $ não é definido), $ C_{1} $ deve ser zero.
Então, a equação simplifica para:
r = R

Passo 7

Aplicamos a condição na superfície ($ r = R $):
r = R
Primeiro, convertemos o diâmetro para raio: $ R = \frac{100 , mm}{2} = 0,05 , m $.
Calculamos:
100 = -7 times 10^64 times 190 R^2 + C2
R = 100 , mm2 = 0,05 , m
100 = -7 times 10^6760 (0,05)^2 + C2
100 = -7 times 10^6760 times 0,0025 + C2
100 = -17,5 times 10^3760 + C2

Resposta

A temperatura no centro do cilindro é aproximadamente 123,03^circ C.

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