Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de
. A condutividade térmica do sólido é de
.K e a temperatura da sua superfície é mantida a
. Calcular:
(i) a temperatura no centro do cilindro.
(i) a temperatura no centro do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme. A gente precisa calcular a temperatura no centro desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor, especificamente a condução em cilindros com geração interna de calor. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor em coordenadas cilíndricas e aplicar a teoria de equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos um cilindro que gera calor por unidade de volume a uma taxa de
. A condutividade térmica do material é
e a superfície do cilindro está a
. Queremos saber qual é a temperatura no centro do cilindro.
Passo 3
Vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas para estado estacionário, com geração interna de calor. A equação é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura.
- $ r $ é a posição radial.
- $ q’’’ $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
- $ k $ é a condutividade térmica.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
Agora, integramos em relação a $ r $:
Onde $ C_{1} $ é a constante de integração.
Passo 5
Dividimos ambos os lados por $ r $:
Integramos novamente para encontrar $ T® $:
Onde $ C_{2} $ é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2}
r = R $) a temperatura é $ 100^{\circ} \mathrm{C}
r = 0 $) a temperatura é o que queremos encontrar.
No centro, para evitar que a temperatura não fique infinita (já que $ \ln(0) $ não é definido), $ C_{1} $ deve ser zero.
Então, a equação simplifica para:
Passo 7
Aplicamos a condição na superfície ($ r = R $):
Primeiro, convertemos o diâmetro para raio: $ R = \frac{100 , mm}{2} = 0,05 , m $.
Calculamos:
Resposta
A temperatura no centro do cilindro é aproximadamente
.