Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de 7 times 106 W / m^3. A condutividade térmica do sólido é de 190 W / m.K e a temperatura da sua superfície é mantida a 100^circ C. Calcular:
(iii) Gradiente de temperatura num raio de 25 mm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro sólido que está gerando calor de forma uniforme. A gente precisa descobrir qual é o gradiente de temperatura (ou seja, a taxa de variação da temperatura) a 25 mm do centro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de condução de calor em cilindros, usando a condutividade térmica e a taxa de geração de calor fornecidas. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas de transferência de calor e fazer umas integrações básicas. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. Temos um cilindro com diâmetro de 100 mm, então o raio (R) é de 50 mm ou 0,05 m. Esse cilindro está gerando calor a uma taxa uniforme de 7 times 10^6 , W/m^3 e a condutividade térmica (k) é de 190 W/m.K. A temperatura na superfície do cilindro está mantida em 100°C. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro do cilindro, especialmente no raio de 25 mm.

Passo 3

Para encontrar o gradiente de temperatura, precisamos primeiro determinar a distribuição de temperatura no cilindro. Vamos usar a equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor. A equação em coordenadas cilíndricas, assumindo simetria radial e estado estacionário, é:
1r ddr ( r dTdr ) + Qk = 0
Onde:
  • $ T $ é a temperatura em função do raio $ r $
  • $ Q $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume
  • $ k $ é a condutividade térmica

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
r
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
ddr ( r dTdr ) = -Q rk
Dividindo por $ r $:
r

Passo 5

Para achar a constante de integração $ C_1 C1 çã r = 0 $), o gradiente de temperatura deve ser zero (pois não há variação de temperatura no exato centro). Assim:
r = 0
Isso implica que $ C_1 = 0 $ (já que o termo com $ C_1 $ deve ser finito). Então, a equação simplifica para:
dTdr |r=0 = 0 = -Q cdot 02k + C10

Passo 6

Agora, integramos novamente para encontrar a distribuição de temperatura $ T® $:
T(r)
Para encontrar $ C_2 T(r) = -Q4k r^2 + C2 çãí r = R = 0,05 , m $), a temperatura é $ 100°C $. Então:
C2
Resolvendo para $ C_2 $:
r = R = 0,05 , m

Passo 7

Substituindo $ C_2 $ de volta na expressão para $ T® $:
C2
Simplificando:
T(r)
Onde $ R = 0,05 , m $ é o raio do cilindro.

Passo 8

Agora, vamos lembrar que o gradiente de temperatura é a derivada da temperatura em relação ao raio:
dTdr = -Q r2k
Vamos calcular isso no raio de $ r = 0,025 , m $ (25 mm).

Passo 9

Substituindo os valores:
dTdr = -7 times 10^6 , W/m^3 times 0,025 , m2 times 190 , W/mK
Calculando o numerador e denominador separadamente:
Numerador = 7 times 10^6 times 0,025 = 175,000 , W/m^2K
Denominador = 2 times 190 = 380 , W/mK
Então:
dTdr = -175,000380 approx -460.53 , °C/m

Resposta

O gradiente de temperatura a 25 mm do centro do cilindro é aproximadamente -460,53 °C/m.

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