As superficies interior e exterior da esfera oca são mantidas à temperatura T1 e T2, respetivamente. Os raios interno e externo são
e
, respetivamente. A condutividade térmica
do material da esfera é constante.
(i) Desenvolva uma expressão para a distribuição unidimensional da temperatura em estado estacionário na esfera.
(i) Desenvolva uma expressão para a distribuição unidimensional da temperatura em estado estacionário na esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera oca com duas superfícies: a interna a temperatura $ T_1 $ e a externa a temperatura $ T_2 $. Os raios interno e externo são $ r_1 $ e $ r_2 $, respectivamente. A condutividade térmica do material da esfera é $ k $. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que descreva como a temperatura varia dentro dessa esfera em estado estacionário, ou seja, quando a temperatura já parou de mudar com o tempo. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor na geometria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em estado estacionário para esferas. Em estado estacionário, não há variação temporal, então a equação simplifica. A equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas, sem geração de calor interno, é:
Aqui, $ T $ é a temperatura em função do raio $ r $, e $ k $ é a condutividade térmica.
Passo 3
Vamos simplificar essa equação. Como $ k $ é constante, podemos tirar fora da derivada:
Dividindo ambos os lados por $ k $:
Isso nos indica que a derivada dentro dos parênteses deve ser uma constante. Vamos integrar para achar $ T® $.
Passo 4
Integrando a equação:
Onde $ C $ é uma constante de integração. Agora, isolamos $ \frac{dT}{dr} $:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar $ T® $:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes $ C $ e $ D $ usando as condições de contorno fornecidas:
- Quando $ r = r_1 $, $ T = T_1 $:
- Quando $ r = r_2 $, $ T = T_2 $:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ C $ e $ D $.
Passo 6
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar $ D $:
Fatorando $ C $:
Isolando $ C $:
Passo 7
Agora que temos $ C $, substituímos de volta em uma das equações para encontrar $ D $. Usando a primeira equação:
Substituindo $ C $:
Passo 8
Agora, juntando tudo, a expressão para a temperatura $ T® $ na esfera é:
Simplificando, podemos reescrever isso de forma mais organizada:
Ou de uma forma equivalente:
Resposta
A distribuição unidimensional da temperatura em estado estacionário na esfera é dada por