As superficies interior e exterior da esfera oca são mantidas à temperatura T1 e T2, respetivamente. Os raios interno e externo são r 1 e r 2, respetivamente. A condutividade térmica k do material da esfera é constante.
(i) Desenvolva uma expressão para a distribuição unidimensional da temperatura em estado estacionário na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera oca com duas superfícies: a interna a temperatura $ T_1 $ e a externa a temperatura $ T_2 $. Os raios interno e externo são $ r_1 $ e $ r_2 $, respectivamente. A condutividade térmica do material da esfera é $ k $. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que descreva como a temperatura varia dentro dessa esfera em estado estacionário, ou seja, quando a temperatura já parou de mudar com o tempo. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor na geometria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em estado estacionário para esferas. Em estado estacionário, não há variação temporal, então a equação simplifica. A equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas, sem geração de calor interno, é:
1r^2 ddr ( r^2 k dTdr ) = 0
Aqui, $ T $ é a temperatura em função do raio $ r $, e $ k $ é a condutividade térmica.

Passo 3

Vamos simplificar essa equação. Como $ k $ é constante, podemos tirar fora da derivada:
k
Dividindo ambos os lados por $ k $:
k cdot 1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Isso nos indica que a derivada dentro dos parênteses deve ser uma constante. Vamos integrar para achar $ T® $.

Passo 4

Integrando a equação:
r^2 dTdr = C
Onde $ C $ é uma constante de integração. Agora, isolamos $ \frac{dT}{dr} $:
C
Agora, vamos integrar novamente para encontrar $ T® $:
dTdr
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes $ C $ e $ D $ usando as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando $ r = r_1 $, $ T = T_1 $:
C
  1. Quando $ r = r_2 $, $ T = T_2 $:
D
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ C $ e $ D $.

Passo 6

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar $ D $:
D
Fatorando $ C $:
T1 - T2 = -Cr1 + Cr2
Isolando $ C $:
C

Passo 7

Agora que temos $ C $, substituímos de volta em uma das equações para encontrar $ D $. Usando a primeira equação:
C
Substituindo $ C $:
D

Passo 8

Agora, juntando tudo, a expressão para a temperatura $ T® $ na esfera é:
T(r)
Simplificando, podemos reescrever isso de forma mais organizada:
T(r) = -Cr + D = -(T1 - T2) r1 r2r1 - r2 cdot 1r + T1 + (T1 - T2) r2r1 - r2
Ou de uma forma equivalente:
T(r) = T2 + (T1 - T2) r2r cdot 11 - r2r1

Resposta

A distribuição unidimensional da temperatura em estado estacionário na esfera é dada por
T(r) = T2 + (T1 - T2) r1 r2(r1 - r2) r

Exercícios relacionados