Um sistema para aquecimento de água de para uma envolve a passagem de água através de um tubo de e . A superfície externa do tubo é bem isolada e o aquecimento elétrico no interior da parede fornece uma taxa de geração uniforme de . (a) Para uma vazão de água de , qual deve ser o comprimento do tubo para alcançar a temperatura de saída? (b) Se a temperatura da superfície interna do tubo na saída é , qual o coeficiente de transferência de calor local na saída?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema que esquenta água de 20°C para 60°C passando por um tubo com diâmetro interno de 20 mm e externo de 40 mm. A parte externa do tubo tá bem isolada, e o aquecimento interno gera calor de forma uniforme a uma taxa de . Precisamos descobrir duas coisas:
a) O comprimento do tubo necessário para aquecer a água com uma vazão de 0,1 kg/s até a temperatura desejada.
b) O coeficiente de transferência de calor na saída do tubo, sabendo que a temperatura da superfície interna na saída é 70°C.
Vamos usar conceitos de transferência de calor e mecânica dos fluidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no item a). Precisamos encontrar o comprimento do tubo ( ) necessário para aquecer a água de 20°C a 60°C com uma vazão de 0,1 kg/s.
Para isso, vamos usar a equação de energia para transferência de calor em um fluxo contínuo:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (W)
  • é a vazão mássica (kg/s)
  • é o calor específico da água ( )
  • é a variação de temperatura (°C)

Passo 3

Primeiro, calculamos a quantidade de calor necessária para aquecer a água:
Então, precisamos transferir 16.744 W de calor para a água.

Passo 4

Agora, sabemos que o calor está sendo gerado de forma uniforme dentro da parede do tubo a uma taxa de . A quantidade total de calor gerada por unidade de comprimento do tubo ( ) pode ser expressa como:
Onde:
  • é o volume por unidade de comprimento
  • é a área da parede do tubo por unidade de comprimento
  • é o comprimento do tubo
Mas como queremos a taxa de geração de calor por metro ( ), podemos simplificar:
[
Q’ = q_g \cdot A’
]
Onde é a área da parede por metro de comprimento, que é a circunferência média do tubo vezes 1 metro:
Então:

Passo 5

Sabemos que a taxa total de transferência de calor necessária é 16.744 W. Então, o comprimento do tubo necessário ( ) pode ser calculado por:

Passo 6

Agora, vamos para o item b). Queremos encontrar o coeficiente de transferência de calor local ( ) na saída, sabendo que a temperatura da superfície interna na saída é 70°C.
Usaremos a lei de resfriamento de Newton:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por área ( )
  • é o coeficiente de transferência de calor ( )
  • é a temperatura da superfície interna (70°C)
  • é a temperatura da água na saída (60°C)
Primeiro, precisamos encontrar .

Passo 7

A taxa de transferência de calor por área ( ) na saída pode ser relacionada com a taxa total de transferência de calor ( ) e a área de transferência de calor na saída ( ):
A área de transferência de calor na saída ( ) é a área interna do tubo na saída:
Com e :
Então:

Passo 8

Agora, usando a lei de resfriamento de Newton:

Resposta

a) O comprimento do tubo necessário é de aproximadamente 17,8 cm.
b) O coeficiente de transferência de calor local na saída é de aproximadamente 149.643 W/(m²·°C).

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