Um sistema para aquecimento de água de Tm, e=20^circ C para uma Tm, s=60^circ C envolve a passagem de água através de um tubo de Di=20 mm e De=40 mm. A superfície externa do tubo é bem isolada e o aquecimento elétrico no interior da parede fornece uma taxa de geração uniforme de qg=10^6 w / m^3. (a) Para uma vazão de água de 0,1 kg / s, qual deve ser o comprimento do tubo para alcançar a temperatura de saída? (b) Se a temperatura da superfície interna do tubo na saída é 70^circ C, qual o coeficiente de transferência de calor local na saída?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema que esquenta água de 20°C para 60°C passando por um tubo com diâmetro interno de 20 mm e externo de 40 mm. A parte externa do tubo tá bem isolada, e o aquecimento interno gera calor de forma uniforme a uma taxa de . Precisamos descobrir duas coisas:
a) O comprimento do tubo necessário para aquecer a água com uma vazão de 0,1 kg/s até a temperatura desejada.
b) O coeficiente de transferência de calor na saída do tubo, sabendo que a temperatura da superfície interna na saída é 70°C.
Vamos usar conceitos de transferência de calor e mecânica dos fluidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no item a). Precisamos encontrar o comprimento do tubo ( dotQ = dotm cdot cp cdot De) necessário para aquecer a água de 20°C a 60°C com uma vazão de 0,1 kg/s.
Para isso, vamos usar a equação de energia para transferência de calor em um fluxo contínuo:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (W)
  • é a vazão mássica (kg/s)
  • é o calor específico da água ( )
  • é a variação de temperatura (°C)

Passo 3

Primeiro, calculamos a quantidade de calor necessária para aquecer a água:
De
dotQ = 0,1 , kg/s times 4186 , J/(kg·°C) times 40°C = 16,744 , W
Então, precisamos transferir 16.744 W de calor para a água.

Passo 4

Agora, sabemos que o calor está sendo gerado de forma uniforme dentro da parede do tubo a uma taxa de Q' = qg cdot V' = qg cdot A' cdot L . A quantidade total de calor gerada por unidade de comprimento do tubo ( Q' = qg cdot A' ) pode ser expressa como:
A' = pi (Di + De)/2 times 1 , m = pi (0,02 , m + 0,04 , m)/2 = pi times 0,03 , m = 0,0942 , m^2/m
Onde:
  • Q' = 10^6 , W/m^3 times 0,0942 , m^2/m = 94,200 , W/m é o volume por unidade de comprimento
  • é a área da parede do tubo por unidade de comprimento
  • é o comprimento do tubo
Mas como queremos a taxa de geração de calor por metro ( ), podemos simplificar:
[
Q’ = q_g \cdot A’
]
Onde é a área da parede por metro de comprimento, que é a circunferência média do tubo vezes 1 metro:
Então:

Passo 5

Sabemos que a taxa total de transferência de calor necessária é 16.744 W. Então, o comprimento do tubo necessário ( dotQ = Q' times L ) pode ser calculado por:
L = dotQQ' = 16,744 , W94,200 , W/m approx 0,178 , m , ou , 17,8 , cm

Passo 6

Agora, vamos para o item b). Queremos encontrar o coeficiente de transferência de calor local ( q'' = h cdot (Ts - Tm,s) ) na saída, sabendo que a temperatura da superfície interna na saída é 70°C.
Usaremos a lei de resfriamento de Newton:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por área ( )
  • é o coeficiente de transferência de calor ( )
  • é a temperatura da superfície interna (70°C)
  • é a temperatura da água na saída (60°C)
Primeiro, precisamos encontrar .

Passo 7

A taxa de transferência de calor por área ( q'' = dotQA ) na saída pode ser relacionada com a taxa total de transferência de calor ( A = pi Di L ) e a área de transferência de calor na saída ( A = pi times 0,02 , m times 0,178 , m approx 0,0112 , m^2 ):
q'' = 16,744 , W0,0112 , m^2 approx 1,496,428 , W/m^2
A área de transferência de calor na saída ( ) é a área interna do tubo na saída:
Com e :
Então:

Passo 8

Agora, usando a lei de resfriamento de Newton:
1,496,428 , W/m^2 = h cdot (70°C - 60°C)
h = 1,496,428 , W/m^210°C = 149,642,8 , W/(m^2·°C)

Resposta

a) O comprimento do tubo necessário é de aproximadamente 17,8 cm.
b) O coeficiente de transferência de calor local na saída é de aproximadamente 149.643 W/(m²·°C).

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