) Um cilindro uniforme de massa 10 kg e raio
gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa na direção axial, a uma velocidade angular de
. Uma força de atrito constante nos pontos de apoio do eixo provoca um torque de módulo 2 Nm , reduzindo sua velocidade angular. Calcule o tempo que o cilindro leva para perder metade de sua energia de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro que está girando e vai perder metade da sua energia de rotação por causa de um torque de atrito. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional para resolver isso. Precisamos saber o momento de inércia do cilindro, a energia de rotação inicial e como o torque afeta a velocidade angular ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia (
) do cilindro. Para um cilindro uniforme girando em torno de seu eixo central, a fórmula é:
Onde:
-
(massa) -
(raio)
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos relacionar o torque (
) com a aceleração angular (
). A fórmula é:
Dado que
, podemos encontrar
:
A aceleração angular é negativa porque o torque está diminuindo a velocidade angular.
Passo 4
A velocidade angular inicial (
) é
. Queremos saber o tempo (
) para a energia de rotação ser reduzida para metade. A energia de rotação é dada por:
Queremos que
seja metade do inicial:
Simplificando:
Agora, usamos a equação da velocidade angular com aceleração constante:
Como a aceleração é negativa:
Passo 5
Calculando o valor numérico:
Resposta
O cilindro leva aproximadamente 2,93 segundos para perder metade da sua energia de rotação.