) Um cilindro uniforme de massa 10 kg e raio 0,2 m gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa na direção axial, a uma velocidade angular de 100 rd / s. Uma força de atrito constante nos pontos de apoio do eixo provoca um torque de módulo 2 Nm , reduzindo sua velocidade angular. Calcule o tempo que o cilindro leva para perder metade de sua energia de rotação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro que está girando e vai perder metade da sua energia de rotação por causa de um torque de atrito. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional para resolver isso. Precisamos saber o momento de inércia do cilindro, a energia de rotação inicial e como o torque afeta a velocidade angular ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ( I) do cilindro. Para um cilindro uniforme girando em torno de seu eixo central, a fórmula é:
I = 12 m r^2
Onde:
  • m = 10,kg (massa)
  • r = 0.2,m (raio)
Substituindo:
I = 12 times 10 times (0.2)^2 = 12 times 10 times 0.04 = 0.2,kg cdot m^2

Passo 3

Agora, vamos relacionar o torque ( tau) com a aceleração angular ( alpha). A fórmula é:
tau = I alpha
Dado que tau = 2,Nm, podemos encontrar alpha:
alpha = tauI = 20.2 = 10,rad/s^2
A aceleração angular é negativa porque o torque está diminuindo a velocidade angular.

Passo 4

A velocidade angular inicial ( omega0) é 100,rad/s. Queremos saber o tempo ( t) para a energia de rotação ser reduzida para metade. A energia de rotação é dada por:
E = 12 I omega^2
Queremos que E seja metade do inicial:
12 I omega^2 = 12 times 12 I omega0^2
Simplificando:
omega^2 = 12 omega0^2 omega = omega0raiz2
Agora, usamos a equação da velocidade angular com aceleração constante:
omega = omega0 + alpha t
Como a aceleração é negativa:
100raiz2 = 100 - 10t 100raiz2 - 100 = -10t t = 100 - 100raiz210

Passo 5

Calculando o valor numérico:
t = 100 (1 - 1raiz2)10 = 10 (1 - 11.4142) approx 10 times (1 - 0.7071) = 10 times 0.2929 = 2.929,s

Resposta

O cilindro leva aproximadamente 2,93 segundos para perder metade da sua energia de rotação.

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