A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia 2,5 kgm^2 em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua velocidade angular em função do tempo é dada por omega=(400 rd / s^3) t^2.
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo, e ache seu valor no instante t=3,0 s.
b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t=3,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma hélice de turbina com um momento de inércia de e a velocidade angular dela está crescendo com o tempo de acordo com a fórmula . Nosso objetivo aqui é:
a) Calcular o momento angular ( ) da hélice em função do tempo e achar o valor de quando .
b) Determinar o torque ( ) que está agindo sobre a hélice em função do tempo e calcular o valor de quando .
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e torque na dinâmica rotacional.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( L = I cdot omega ) está relacionado ao momento de inércia ( ) e à velocidade angular ( ) pela fórmula:
Então, para achar em função do tempo, basta substituir a expressão da velocidade angular na fórmula.

Passo 3

Substituindo L(t) = I cdot omega = 2,5 , kg,m^2 cdot 400 , rad/s^3 cdot t^2 na equação do momento angular:
L(t) = 1000 , kg,m^2,rad/s^3 cdot t^2
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de L(3,0) = 1000 cdot (3,0)^2 = 1000 cdot 9 = 9000 , kg,m^2,rad/s no instante :

Passo 5

Parte b) Vamos calcular o torque ( tau = dLdt ). O torque está relacionado à variação do momento angular ao longo do tempo:
tau(t) = ddt (1000 cdot t^2) = 2000 cdot t , N,m
Como já temos , vamos derivar em relação ao tempo.

Passo 6

Para encontrar o valor de tau(3,0) = 2000 cdot 3,0 = 6000 , N,m em :

Resposta

a) O momento angular em função do tempo é e, no instante , .
b) O torque em função do tempo é e, no instante , .

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