A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia
em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua velocidade angular em função do tempo é dada por
.
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo, e ache seu valor no instante
.
b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para
.
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo, e ache seu valor no instante
b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma hélice de turbina com um momento de inércia de
e a velocidade angular dela está crescendo com o tempo de acordo com a fórmula
. Nosso objetivo aqui é:
a) Calcular o momento angular (
) da hélice em função do tempo e achar o valor de
quando
.
b) Determinar o torque (
) que está agindo sobre a hélice em função do tempo e calcular o valor de
quando
.
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e torque na dinâmica rotacional.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos lembrar que o momento angular (
) está relacionado ao momento de inércia (
) e à velocidade angular (
) pela fórmula:
Então, para achar
em função do tempo, basta substituir a expressão da velocidade angular na fórmula.
Passo 3
Substituindo
na equação do momento angular:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de
no instante
:
Passo 5
Parte b) Vamos calcular o torque (
). O torque está relacionado à variação do momento angular ao longo do tempo:
Como já temos
, vamos derivar em relação ao tempo.
Passo 6
Para encontrar o valor de
em
:
Resposta
a) O momento angular em função do tempo é
e, no instante
,
.
b) O torque em função do tempo é
e, no instante
,
.