A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua velocidade angular em função do tempo é dada por .
a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo, e ache seu valor no instante .
b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma hélice de turbina com um momento de inércia de e a velocidade angular dela está crescendo com o tempo de acordo com a fórmula . Nosso objetivo aqui é:
a) Calcular o momento angular ( ) da hélice em função do tempo e achar o valor de quando .
b) Determinar o torque ( ) que está agindo sobre a hélice em função do tempo e calcular o valor de quando .
Vamos precisar usar conceitos de momento angular e torque na dinâmica rotacional.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( ) está relacionado ao momento de inércia ( ) e à velocidade angular ( ) pela fórmula:
Então, para achar em função do tempo, basta substituir a expressão da velocidade angular na fórmula.

Passo 3

Substituindo na equação do momento angular:
Simplificando:

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de no instante :

Passo 5

Parte b) Vamos calcular o torque ( ). O torque está relacionado à variação do momento angular ao longo do tempo:
Como já temos , vamos derivar em relação ao tempo.

Passo 6

Para encontrar o valor de em :

Resposta

a) O momento angular em função do tempo é e, no instante , .
b) O torque em função do tempo é e, no instante , .

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a)
b)
c)
d)
e)
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a)
b)
c)
d)
e)
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