O cilindro uniforme, de massa
e raio
, está sobre a plataforma B. Tanto o cilindro quanto a plataforma estão inicialmente em repouso. Se à plataforma B for aplicada uma aceleração
, qual distância a plataforma percorrerá antes de a bobina cair dela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro uniforme, com massa
e raio
, que está sobre uma plataforma B. Inicialmente, tanto o cilindro quanto a plataforma estão parados. Aí, a plataforma começa a acelerar com uma aceleração
. Nosso objetivo é descobrir qual a distância que a plataforma percorre antes que o cilindro caia dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente envolvendo forças, aceleração e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que faz o cilindro ficar na plataforma. Quando a plataforma acelera, uma força inercial atua no cilindro na direção oposta à aceleração da plataforma. Se essa força for grande o suficiente, pode fazer com que o cilindro perca o contato com a plataforma e caia.
Passo 3
A força inercial que age sobre o cilindro é dada por:
Essa força tenta empurrar o cilindro para trás da plataforma.
Passo 4
Para o cilindro não cair, a força de atrito estático entre o cilindro e a plataforma precisa ser maior ou igual à força inercial. A força de atrito máximo é:
onde
é o coeficiente de atrito estático e
é a força normal, que neste caso é igual ao peso do cilindro:
Então, temos:
Passo 5
Para o cilindro não deslizar, precisamos que:
Substituindo as expressões:
Simplificando
dos dois lados:
Isso significa que a plataforma vai acelerar sem que o cilindro caia se a aceleração
for menor ou igual a
.
Passo 6
Mas a questão quer saber a distância que a plataforma percorre antes do cilindro cair. Vamos considerar que a plataforma começa do repouso e acelera uniformemente com aceleração
. A distância percorrida pelo movimento uniformemente acelerado é dada por:
Precisamos encontrar o tempo
até que a aceleração cause a queda do cilindro. Da condição anterior, sabemos que isso acontece quando
.
Passo 7
Substituindo
na expressão da distância:
Mas queremos a distância no momento em que
atinge
. Se a aceleração é constante, o tempo até atingir essa condição não é definido a menos que haja uma outra restrição. Porém, assumindo que a aceleração
é constante e igual a
, a distância até a queda é infinita na ausência de outras forças. Isso sugere que o cilindro não cairá se a condição de atrito for mantida.
Resposta
A plataforma não percorrerá nenhuma distância antes de o cilindro cair se a aceleração
exceder
. Se
, o cilindro não cairá independente da distância percorrida.