As duas barras de seção transversal circular, uma de alumínio e a outra de cobre, são fixadas nas paredes rígidas de tal forma que quando a temperatura é igual a T1=15^circ C exista uma folga igual a 0,1 mm entre as mesmas. Qual a temperatura mais alta T2 necessária para que a folga se feche? Cada barra tem um diâmetro de 30 mm, alphaAl=23 times 10-6 I^circ C, EAl=70 GPa, alphaCu=17 times 10^-6 I^circ C, ECu=126 GPa. Determine a tensão normal média em cada barra para T3=85^circ C. (Resposta: T2=30,87^circ C e sigmaAI=sigmaCU=93,4 MPa )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas barras, uma de alumínio e outra de cobre, com seções transversais circulares de diâmetro 30 mm cada. Elas estão fixadas em paredes rígidas de forma que, quando a temperatura é 15°C, existe uma folga de 0,1 mm entre elas. Queremos descobrir qual a temperatura mais alta, , que faz com que essa folga feche completamente. Além disso, precisamos determinar a tensão normal média em cada barra quando a temperatura é 85°C.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de dilatação térmica e como materiais se comportam quando estão restritos em sua expansão. Vamos usar fórmulas de expansão térmica e relacionar as dilatações das duas barras para encontrar e depois calcular as tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
De
Onde:
  • é a variação de comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de dilatação linear,
  • é a variação de temperatura.
Como as barras estão fixadas, elas não podem se expandir livremente. Então, quando a temperatura aumenta, elas vão tentar se expandir, mas a fixação vai gerar uma tensão que impede essa expansão. A folga inicial de 0,1 mm será eliminada pela expansão combinada das duas barras.

Passo 3

Vamos considerar que ambas as barras têm o mesmo comprimento inicial De e que a diferença de dilatação delas devido ao aumento de temperatura vai preencher a folga de 0,1 mm.
A variação de comprimento total que preenche a folga é a soma das variações das duas barras:
L0 cdot alphaAl cdot (T2 - T1) + L0 cdot alphaCu cdot (T2 - T1) = 0,1 , mm
Substituindo a fórmula da dilatação linear:
(alphaAl + alphaCu) cdot (T2 - T1) = 0,1 , mmL0
Podemos simplificar, já que é o mesmo para ambas as barras:
Mas como não temos o comprimento , precisamos relacionar isso com as propriedades elásticas das barras.

Passo 4

Quando as barras estão fixas, elas geram tensões devido à restrição de expansão. A tensão sigma = E cdot epsilon está relacionada à variação de comprimento pela fórmula:
epsilon = De
Onde:
  • sigma = E cdot De é o módulo de elasticidade,
  • sigmaAl = sigmaCu é a deformação.
A deformação pode ser relacionada à variação de comprimento:
Então, substituindo na equação da tensão:
Como as barras estão em equilíbrio, as tensões nas duas barras devem ser iguais:
Vamos usar isso para relacionar as variações de comprimento das barras.

Passo 5

Igualando as tensões:
EAl cdot De
Como EAl cdot De é o mesmo, podemos simplificar:
De
Agora, lembrando que:
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 6

Vamos chamar EAl cdot x = ECu cdot (0,1 - x) , então EAl cdot x + ECu cdot x = ECu cdot 0,1 .
Substituindo na equação de equilíbrio das tensões:
x (EAl + ECu) = 0,1 cdot ECu
Resolvendo para x = 0,1 cdot ECuEAl + ECu :
EAl = 70 , GPa = 70 times 10^3 , MPa
ECu = 126 , GPa = 126 times 10^3 , MPa
x = 0,1 cdot 126 times 10^370 times 10^3 + 126 times 10^3 = 12,6196 approx 0,0643 , mm
Substituindo os valores:
De
Então:
E:

Passo 7

Agora, vamos relacionar essas variações de comprimento com a dilatação térmica.
Sabemos que:
De
Então:
De
De
Dividindo as duas equações:
De
Substituindo os valores:
0,06430,0357 approx 23 times 10^-617 times 10^-6
1,8 approx 1,35
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar.

Passo 8

Desculpe pelo erro! Vamos corrigir. Na verdade, já encontramos De e L0 (alphaAl - alphaCu) De em função das tensões e módulos de elasticidade. Mas o que precisamos é relacionar com a variação de temperatura.
Sabemos que ambas as barras sofrem um aumento de temperatura (alphaAl - alphaCu) De, mas elas têm coeficientes de dilatação diferentes. A folga será fechada quando a diferença nas dilatações for igual a 0,1 mm.
Então:
De
De
Mas como as barras estão restritas, precisamos incluir as tensões. Uma forma mais direta é usar a relação:
Resolvendo para 170 times 10^3 + 1126 times 10^3 = 170000 + 1126000 approx 1,4286 times 10^-5 + 7,9365 times 10^-6 = 2,222 times 10^-5 , MPa^-1 :
De
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Então:

Resposta

A temperatura mais alta necessária para fechar a folga é e a tensão normal média em cada barra é .

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