As duas barras de seção transversal circular, uma de alumínio e a outra de cobre, são fixadas nas paredes rígidas de tal forma que quando a temperatura é igual a
exista uma folga igual a
entre as mesmas. Qual a temperatura mais alta
necessária para que a folga se feche? Cada barra tem um diâmetro de
. Determine a tensão normal média em cada barra para
. (Resposta:
e
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas barras, uma de alumínio e outra de cobre, com seções transversais circulares de diâmetro 30 mm cada. Elas estão fixadas em paredes rígidas de forma que, quando a temperatura é 15°C, existe uma folga de 0,1 mm entre elas. Queremos descobrir qual a temperatura mais alta,
, que faz com que essa folga feche completamente. Além disso, precisamos determinar a tensão normal média em cada barra quando a temperatura é 85°C.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de dilatação térmica e como materiais se comportam quando estão restritos em sua expansão. Vamos usar fórmulas de expansão térmica e relacionar as dilatações das duas barras para encontrar
e depois calcular as tensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
Onde:
-
é a variação de comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura.
Como as barras estão fixadas, elas não podem se expandir livremente. Então, quando a temperatura aumenta, elas vão tentar se expandir, mas a fixação vai gerar uma tensão que impede essa expansão. A folga inicial de 0,1 mm será eliminada pela expansão combinada das duas barras.
Passo 3
Vamos considerar que ambas as barras têm o mesmo comprimento inicial
e que a diferença de dilatação delas devido ao aumento de temperatura vai preencher a folga de 0,1 mm.
A variação de comprimento total que preenche a folga é a soma das variações das duas barras:
Substituindo a fórmula da dilatação linear:
Podemos simplificar, já que
é o mesmo para ambas as barras:
Mas como não temos o comprimento
, precisamos relacionar isso com as propriedades elásticas das barras.
Passo 4
Quando as barras estão fixas, elas geram tensões devido à restrição de expansão. A tensão
está relacionada à variação de comprimento pela fórmula:
Onde:
-
é o módulo de elasticidade, -
é a deformação.
A deformação
pode ser relacionada à variação de comprimento:
Então, substituindo na equação da tensão:
Como as barras estão em equilíbrio, as tensões nas duas barras devem ser iguais:
Vamos usar isso para relacionar as variações de comprimento das barras.
Passo 5
Igualando as tensões:
Como
é o mesmo, podemos simplificar:
Agora, lembrando que:
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos chamar
, então
.
Substituindo na equação de equilíbrio das tensões:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Então:
E:
Passo 7
Agora, vamos relacionar essas variações de comprimento com a dilatação térmica.
Sabemos que:
Então:
Dividindo as duas equações:
Substituindo os valores:
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar.
Passo 8
Desculpe pelo erro! Vamos corrigir. Na verdade, já encontramos
e
em função das tensões e módulos de elasticidade. Mas o que precisamos é relacionar com a variação de temperatura.
Sabemos que ambas as barras sofrem um aumento de temperatura
, mas elas têm coeficientes de dilatação diferentes. A folga será fechada quando a diferença nas dilatações for igual a 0,1 mm.
Então:
Mas como as barras estão restritas, precisamos incluir as tensões. Uma forma mais direta é usar a relação:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Então:
Resposta
A temperatura mais alta necessária para fechar a folga é
e a tensão normal média em cada barra é
.