Dois corpos, de massas (à esquerda) e (à direita), estão presos um ao outro por meio de um fio. Entre os corpos, tracionando o fio, está uma mola de constante elástica , comprimida com uma deflexão . O fio é, repentinamente, cortado, fazendo que os corpos se afastam um do outro, deslizando no plano horizontal sem atrito. Calcule: A velocidade de cada corpo quando a mola tiver deflexão zero;
Passo 1
Então, temos dois corpos com massas e ligados por um fio, e no meio desse fio tem uma mola comprimida com deflexão e constante elástica . Quando cortamos o fio, esses corpos começam a se afastar um do outro no plano horizontal sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade de cada corpo quando a mola voltar a ficar sem deflexão, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação da energia e conservação do momento.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. Essa energia é chamada de energia potencial elástica e é dada pela fórmula:
Quando a mola volta à posição sem deflexão, essa energia se transforma em energia cinética dos dois corpos.
Passo 3
Como não há atrito no sistema, a energia total é conservada. Assim, a energia potencial da mola se converte na soma das energias cinéticas dos dois corpos:
Aqui, e são as velocidades dos corpos e , respectivamente, quando a mola não está mais comprimida.
Passo 4
Além disso, como o sistema estava inicialmente em repouso e não há forças externas agindo, o momento total do sistema é conservado. Isso significa que a soma dos momentos após o corte do fio deve ser igual a zero:
Essa equação nos mostra que os momentos dos dois corpos são iguais e opostos.
Passo 5
Agora, temos duas equações:
Conservação da energia:
Conservação do momento:
Vamos resolver essas equações para encontrar e .
Passo 6
Começamos isolando uma das variáveis. Da segunda equação, podemos expressar em função de :
Passo 7
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Fatorando :
Isolando :
Passo 9
Simplificando a expressão de :
Multiplicando numerador e denominador por :
Passo 10
Agora, encontramos usando a relação que obtivemos anteriormente:
Substituindo :
Resposta
As velocidades dos corpos quando a mola não estiver mais comprimida são: