Dois corpos, de massas m1 (à esquerda) e m2 (à direita), estão presos um ao outro por meio de um fio. Entre os corpos, tracionando o fio, está uma mola de constante elástica k, comprimida com uma deflexão De. O fio é, repentinamente, cortado, fazendo que os corpos se afastam um do outro, deslizando no plano horizontal sem atrito. Calcule: A velocidade de cada corpo quando a mola tiver deflexão zero;

Passo 1

Então, temos dois corpos com massas e ligados por um fio, e no meio desse fio tem uma mola comprimida com deflexão e constante elástica . Quando cortamos o fio, esses corpos começam a se afastar um do outro no plano horizontal sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade de cada corpo quando a mola voltar a ficar sem deflexão, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação da energia e conservação do momento.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. Essa energia é chamada de energia potencial elástica e é dada pela fórmula:
Epot = 12kDe
Quando a mola volta à posição sem deflexão, essa energia se transforma em energia cinética dos dois corpos.

Passo 3

Como não há atrito no sistema, a energia total é conservada. Assim, a energia potencial da mola se converte na soma das energias cinéticas dos dois corpos:
12kDe
Aqui, e são as velocidades dos corpos e , respectivamente, quando a mola não está mais comprimida.

Passo 4

Além disso, como o sistema estava inicialmente em repouso e não há forças externas agindo, o momento total do sistema é conservado. Isso significa que a soma dos momentos após o corte do fio deve ser igual a zero:
m1v1 = m2v2
Essa equação nos mostra que os momentos dos dois corpos são iguais e opostos.

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. Conservação da energia:
12kDe
  1. Conservação do momento:
m1v1 = m2v2
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 6

Começamos isolando uma das variáveis. Da segunda equação, podemos expressar v2 = m1m2 v1 em função de :

Passo 7

Agora, substituímos 12kDe na primeira equação:
kDe
Simplificando:
kDe

Passo 8

Fatorando kDe:
v1^2 = kDe
Isolando v1 = raiz kDe:

Passo 9

Simplificando a expressão de v1 = De:
v1 = De
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 10

Agora, encontramos v2 = m1m2 v1 usando a relação que obtivemos anteriormente:
v2 = De
Substituindo :

Resposta

As velocidades dos corpos quando a mola não estiver mais comprimida são:
v1 = De
v2 = De

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