Cinco homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem sentar, nunca deixando em pé a mulher?

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos cinco homens e uma mulher em uma sala de espera com um banco de cinco lugares. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes os homens podem sentar, garantindo que a mulher nunca fique de pé. Isso envolve conceitos de arranjos e permutação, que são parte da combinação da matemática.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a mulher sempre esteja sentada. Como há apenas cinco lugares no banco e seis pessoas no total, isso significa que uma das cinco pessoas que podem ficar de pé deve ser um dos homens. Portanto, vamos começar escolhendo qual homem ficará de pé.

Passo 3

Existem cinco homens, então há 5 maneiras diferentes de escolher qual homem não vai sentar no banco. Isso é uma simples combinação onde selecionamos 1 entre 5, o que nos dá 5 possibilidades.

Passo 4

Depois de escolher qual homem ficará de pé, restam quatro homens e a mulher para ocupar os cinco lugares do banco. Agora precisamos descobrir de quantas maneiras esses cinco indivíduos podem se sentar.

Passo 5

Para arranjar essas cinco pessoas nos cinco lugares, usamos o conceito de permutação, onde a ordem importa. A fórmula para a permutação de $ n $ elementos é:
n
No nosso caso, $ n = 5 $, então:
P(n) = n!
Então, há 120 maneiras de arranjar essas cinco pessoas no banco.

Passo 6

Finalmente, para encontrar o número total de maneiras de organizar tudo, multiplicamos o número de maneiras de escolher qual homem fica de pé pelas maneiras de arranjar as pessoas no banco:
5 (escolhas) times 120 (arranjos) = 600

Resposta

Existem 600 maneiras diferentes de os homens se sentarem, garantindo que a mulher nunca fique de pé.

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