Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a
a) 48.
b) 72.
c) 96.
d) 120.

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos cinco pessoas que querem tirar uma foto em pé, uma ao lado da outra. Porém, duas dessas pessoas não querem ficar lado a lado. Queremos descobrir de quantas maneiras diferentes isso pode acontecer. Para resolver, vamos usar o conceito de permutações, que nos ajuda a contar de quantas formas podemos organizar essas pessoas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras que cinco pessoas podem se organizar sem nenhuma restrição. Isso é uma permutação simples de 5 elementos, que é calculado por:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Então, sem restrições, há 120 maneiras diferentes.

Passo 3

Agora, precisamos calcular de quantas dessas 120 maneiras as duas pessoas que não querem ficar juntas acabam ficando lado a lado. Para facilitar, vamos imaginar essas duas pessoas como se fossem uma única “unidade”.

Passo 4

Com essas duas pessoas como uma unidade, na verdade temos 4 “elementos” para organizar: a unidade e as outras três pessoas. O número de maneiras de organizar 4 elementos é:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Mas dentro da unidade, as duas pessoas podem trocar de lugar entre si, o que dá mais 2 possibilidades. Então, o total de arranjos onde elas ficam juntas é:
24 times 2 = 48

Passo 5

Para encontrar o número de arranjos onde as duas pessoas não ficam juntas, subtraímos os arranjos indesejados do total:
120 - 48 = 72

Resposta

b) 72.

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