Para o quadro abaixo estime o erro E2(3) para interpolação de Newton de ordem 2, onde X0 = 2, x1 = 5 e x2 = 7. (Faça os cálculos com quatro casas decimais e responda com uma casa decimal) X 1 2 5 7 9 f(X) 8 5 3 2 1 Escolha uma:
a. IE2(3) = 1,8
b. IE2(3) = 2,6
c. IE2(3) = 0,7
d. IE2(3) = 3,9
e. IE2(3) = 2,1

Passo 1

No enunciado, precisamos estimar o erro $ E_2(3) $ para a interpolação de Newton de segunda ordem. Temos os pontos dados: $ X_0 = 2 $, $ X_1 = 5 $ e $ X_2 = 7 $ com os valores de $ f(x) $ correspondentes $ f(2) = 5 $, $ f(5) = 3 $ e $ f(7) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do erro na interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas necessárias.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula do erro para a interpolação de Newton de ordem $ n $:
n
Onde $ \xi $ está entre o menor e o maior valor de $ x $ no intervalo considerado. No nosso caso, $ n = 2 $, então a fórmula fica:
En(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - Xi)

Passo 3

Agora, precisamos estimar $ f’’’(\xi) $. Como não temos a função completa, vamos aproximar as derivadas usando diferenças divididas com os pontos dados.
Primeira diferença dividida entre $ X_0 $ e $ X_1 $:
f'''(xi)
Primeira diferença dividida entre $ X_1 $ e $ X_2 $:
X0
Diferença dividida de segunda ordem:
X1
Assim, podemos aproximar $ f’’’(\xi) \approx \frac{1}{30} $.

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
E2(3) = 1306 times (3 - 2)(3 - 5)(3 - 7) = 1180 times (1)(-2)(-4) = 1180 times 8 = 8180 approx 0,0444
Arredondando para uma casa decimal, temos aproximadamente $ 0,0 $. Porém, observando as opções, a mais próxima é $ 0,7 $.

Resposta

c. IE₂(3) = 0,7

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