) Um bloco de massa
está preso a uma mola de constante elástica k sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético
com o bloco. No momento em que a mola não está distendida o bloco tem uma velocidade inicial
. Mostre que a distância que o bloco percorrerá antes de parar é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de massa
preso a uma mola com constante elástica
que está sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético
. Quando a mola não está esticada, o bloco tem uma velocidade inicial
. Nosso objetivo é descobrir a distância que o bloco percorre antes de parar. Vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Força de Atrito para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que agem no bloco. Temos duas principais:
-
Força da mola (
): Quando a mola se estica ou comprime, ela exerce uma força que tenta voltar ao seu comprimento original. Essa força é dada por: ondeé a deformação da mola. -
Força de atrito (
): Essa força age na direção oposta ao movimento do bloco e é calculada por: ondeé a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Energia Mecânica do sistema. A energia inicial do bloco está na forma de energia cinética:
À medida que o bloco move, essa energia é transformada em energia potencial da mola e o bloco perde energia por causa do atrito.
Passo 4
A energia potencial armazenada na mola quando ela está esticada é:
E a energia perdida devido ao atrito ao longo da distância
percorrida é:
Passo 5
No ponto onde o bloco para, toda a energia cinética inicial foi convertida na energia potencial da mola mais a energia perdida pelo atrito. Assim, podemos escrever:
Passo 6
Assumindo que a mola está completamente esticada quando o bloco para (ou seja,
), podemos substituir
por
:
Passo 7
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática na forma:
Podemos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 10
Fatorando o 4 dentro da raiz e simplificando:
Passo 11
Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
Resposta
A distância que o bloco percorrerá antes de parar é: