6^circ ) Um bloco de massa M está preso a uma mola de constante elástica k sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético mu com o bloco. No momento em que a mola não está distendida o bloco tem uma velocidade inicial v0. Mostre que a distância que o bloco percorrerá antes de parar é [(mu^2 M^2 g^2+v0^2 kM)^1 / 2-mu Mg] / k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de massa preso a uma mola com constante elástica que está sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético . Quando a mola não está esticada, o bloco tem uma velocidade inicial . Nosso objetivo é descobrir a distância que o bloco percorre antes de parar. Vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Força de Atrito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que agem no bloco. Temos duas principais:
  1. Força da mola ( Fmola = -k x ): Quando a mola se estica ou comprime, ela exerce uma força que tenta voltar ao seu comprimento original. Essa força é dada por:
    Fatrito = mu M g
    onde é a deformação da mola.
  2. Força de atrito ( ): Essa força age na direção oposta ao movimento do bloco e é calculada por:
    onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Energia Mecânica do sistema. A energia inicial do bloco está na forma de energia cinética:
Ecinética inicial = 12 M v0^2 é
À medida que o bloco move, essa energia é transformada em energia potencial da mola e o bloco perde energia por causa do atrito.

Passo 4

A energia potencial armazenada na mola quando ela está esticada é:
Emola = 12 k x^2
E a energia perdida devido ao atrito ao longo da distância Eatrito = Fatrito times d = mu M g d percorrida é:

Passo 5

No ponto onde o bloco para, toda a energia cinética inicial foi convertida na energia potencial da mola mais a energia perdida pelo atrito. Assim, podemos escrever:
12 M v0^2 = 12 k x^2 + mu M g d

Passo 6

Assumindo que a mola está completamente esticada quando o bloco para (ou seja, 12 M v0^2 = 12 k x^2 + mu M g x ), podemos substituir por :

Passo 7

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
M v0^2 = k x^2 + 2 mu M g x

Passo 8

Essa é uma equação quadrática na forma:
k x^2 + 2 mu M g x - M v0^2 = 0
Podemos resolver para x = -2 mu M g pm raiz(2 mu M g)^2 + 4 k M v0^2 2 k usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 9

Simplificando a expressão dentro da raiz:
x = -2 mu M g pm raiz4 mu^2 M^2 g^2 + 4 k M v0^2 2 k

Passo 10

Fatorando o 4 dentro da raiz e simplificando:
x = -2 mu M g pm 2 raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2 2 k = -mu M g pm raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2 k

Passo 11

Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:
x = raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2 - mu M g k

Resposta

A distância que o bloco percorrerá antes de parar é:
d = raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2 - mu M g k

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