1 0^circ ) Uma carga +q está no ponto y=+a outra carga -q está em y=-a e uma terceira carga +q está na origem. Mostre que o potencial elétrico deste sistema no eixo dos y a uma distância r da origem é dada para r>> a por V=[1 /(4 pi varepsilon0)](q / r+2 a q / r^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três cargas elétricas alinhadas no eixo y: uma carga positiva em , uma carga negativa em e outra carga positiva na origem. A gente precisa descobrir qual é o potencial elétrico desse sistema ao longo do eixo y, a uma distância da origem, sendo que é muito maior que (ou seja, ).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de potencial elétrico de cargas pontuais e a superposição desses potenciais. Como é muito maior que , podemos simplificar os cálculos usando aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 cdot qd devido a uma carga pontual a uma distância é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, e está no denominador para unidades corretas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial devido a cada uma das três cargas no ponto ao longo do eixo y a uma distância V1 = 14pivarepsilon0 cdot qr da origem.
  1. Carga positiva na origem ( V2 = 14pivarepsilon0 cdot qr - a ):
    A distância até o ponto é V3 = 14pivarepsilon0 cdot -qr + a , então o potencial é:
  2. Carga positiva em ( ):
    A distância até o ponto é . Então:
  3. Carga negativa em ( ):
    A distância até o ponto é . Então:

Passo 4

Como 1r pm a approx 1r (1 mp ar ) , podemos simplificar V2 approx 14pivarepsilon0 cdot qr (1 + ar) e V3 approx 14pivarepsilon0 cdot -qr (1 - ar) usando uma aproximação de primeira ordem. Vamos expandir as frações usando o binômio:
Aplicando isso:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Agora, somamos os três potenciais:
V = V1 + V2 + V3
Substituindo as aproximações:
V approx 14pivarepsilon0 cdot qr + 14pivarepsilon0 cdot qr (1 + ar) + 14pivarepsilon0 cdot -qr (1 - ar)
Vamos simplificar:
  1. Expandindo V approx 14pivarepsilon0 cdot qr + 14pivarepsilon0 cdot (qr + q ar^2) + 14pivarepsilon0 cdot (-qr + q ar^2) e V approx 14pivarepsilon0 ( qr + qr - qr + q ar^2 + q ar^2 ) :
    V approx 14pivarepsilon0 ( qr + 2 cdot q ar^2 )
  2. Somando os termos:

Resposta

O potencial elétrico do sistema no eixo y a uma distância V = [14pivarepsilon0] ( qr + 2 a qr^2 ) da origem, considerando que , é dado por:

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