) Uma carga
está no ponto
outra carga -q está em
e uma terceira carga
está na origem. Mostre que o potencial elétrico deste sistema no eixo dos y a uma distância
da origem é dada para
a por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três cargas elétricas alinhadas no eixo y: uma carga positiva
em
, uma carga negativa
em
e outra carga positiva
na origem. A gente precisa descobrir qual é o potencial elétrico desse sistema ao longo do eixo y, a uma distância
da origem, sendo que
é muito maior que
(ou seja,
).
Para resolver isso, vamos usar o conceito de potencial elétrico de cargas pontuais e a superposição desses potenciais. Como
é muito maior que
, podemos simplificar os cálculos usando aproximações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma carga pontual
a uma distância
é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, e
está no denominador para unidades corretas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial devido a cada uma das três cargas no ponto ao longo do eixo y a uma distância
da origem.
-
Carga positiva na origem (
):
A distância até o ponto é, então o potencial é: -
Carga positiva em
( ):
A distância até o ponto é. Então: -
Carga negativa em
( ):
A distância até o ponto é. Então:
Passo 4
Como
, podemos simplificar
e
usando uma aproximação de primeira ordem. Vamos expandir as frações usando o binômio:
Aplicando isso:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, somamos os três potenciais:
Substituindo as aproximações:
Vamos simplificar:
-
Expandindo
e : -
Somando os termos:
Resposta
O potencial elétrico do sistema no eixo y a uma distância
da origem, considerando que
, é dado por:
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