9^circ ) O espaço entre duas esferas concêntricas de raios r1 e r2 encontra-se preenchido com um material não condutor de densidade de carga uniforme rho. Mostre que o potencial elétrico na região r1 é dado por V=[rho /(3 varepsilon0)](3 r2 ^2 / 2-r^2 / 2-r1 ^3 / r).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o potencial elétrico entre duas esferas concêntricas com raios e . O material entre elas não conduz eletricidade e tem uma densidade de carga uniforme . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria do campo elétrico de cargas esféricas e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico na região entre e . Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga simétrica.

Passo 3

Segundo a Lei de Gauss, o campo elétrico E(r) = 14pi varepsilon0 cdot Qdentror^2 em uma esfera de raio é dado por:
onde é a carga total dentro da esfera de raio .

Passo 4

Como a densidade de carga é uniforme Qdentro = rho cdot Volume = rho cdot ( 43pi r^3 - 43pi r1^3 ) = 43pi rho (r^3 - r1^3) , a carga dentro da esfera de raio (entre e ) é:

Passo 5

Substituindo E(r) = 14pi varepsilon0 cdot 43pi rho (r^3 - r1^3)r^2 = rho3 varepsilon0 (r - r1^3r^2) na expressão do campo elétrico:

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico, vamos relacioná-lo ao potencial elétrico E(r) = -dVdr . Sabemos que:
V(r) = -integral E(r) , dr + C
Então, para encontrar , integramos o campo elétrico:

Passo 7

Substituindo V(r) = -integral rho3 varepsilon0 ( r - r1^3r^2 ) dr + C :
V(r) = -rho3 varepsilon0 ( integral r , dr - r1^3 integral 1r^2 dr ) + C
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Calculando as integrais:
integral r , dr = r^22
integral 1r^2 dr = -1r
Então,
V(r) = -rho3 varepsilon0 ( r^22 + r1^3r ) + C

Passo 9

Simplificando:
V(r) = -rho3 varepsilon0 ( r^22 + r1^3r ) + C
Agora, precisamos determinar a constante de integração . Para isso, vamos usar a condição de que o potencial é contínuo na fronteira .

Passo 10

Assumindo que o potencial em 0 = -rho3 varepsilon0 ( r2^22 + r1^3r2 ) + C é zero (referência comum), temos:
C = rho3 varepsilon0 ( r2^22 + r1^3r2 )
Portanto,

Passo 11

Substituindo V(r) = -rho3 varepsilon0 ( r^22 + r1^3r ) + rho3 varepsilon0 ( r2^22 + r1^3r2 ) de volta na expressão de :

Passo 12

Fatorando V(r) = rho3 varepsilon0 ( r2^22 + r1^3r2 - r^22 - r1^3r ) :
V(r) = rho3 varepsilon0 ( 3 r2^22 - r^22 - r1^3r )
Simplificando os termos:

Resposta

O potencial elétrico na região V = [ rho3 varepsilon0 ] ( 3 r2^22 - r^22 - r1^3r ) é dado por:

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