) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um anel carregado de raio a é dado por
, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do anel é dado por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel carregado com raio
e carga total
. Precisamos mostrar duas coisas:
-
O potencial elétrico
no eixo do anel é dado por: -
A partir desse potencial, mostrar que o campo elétrico
no eixo do anel é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente a definição de potencial elétrico e a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico
no eixo do anel. O potencial elétrico devido a uma carga
é dado por:
onde
é a distância entre a carga
e o ponto onde estamos calculando o potencial.
No nosso caso, todas as cargas do anel estão a uma mesma distância
do ponto no eixo. Essa distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
onde
é a distância ao longo do eixo a partir do centro do anel.
Passo 3
Como todas as cargas estão a mesma distância
, o potencial total
é a soma de todos os
. Então:
A integral de
ao redor do anel é simplesmente a carga total
. Portanto:
Isso confirma a primeira parte da questão.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o campo elétrico
a partir do potencial
. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculando a derivada:
Usando a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 6
Agora aplicamos a definição do campo elétrico:
Os sinais negativos se cancelam, então:
Isso confirma a segunda parte da questão.
Resposta
Portanto, mostramos que:
-
O potencial elétrico no eixo do anel é:
-
O campo elétrico no eixo do anel é: