) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um anel carregado de raio a é dado por , a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do anel é dado por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel carregado com raio e carga total . Precisamos mostrar duas coisas:
  1. O potencial elétrico no eixo do anel é dado por:
  2. A partir desse potencial, mostrar que o campo elétrico no eixo do anel é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especificamente a definição de potencial elétrico e a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico no eixo do anel. O potencial elétrico devido a uma carga é dado por:
onde é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
No nosso caso, todas as cargas do anel estão a uma mesma distância do ponto no eixo. Essa distância pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
onde é a distância ao longo do eixo a partir do centro do anel.

Passo 3

Como todas as cargas estão a mesma distância , o potencial total é a soma de todos os . Então:
A integral de ao redor do anel é simplesmente a carga total . Portanto:
Isso confirma a primeira parte da questão.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o campo elétrico a partir do potencial . Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
Vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 5

Calculando a derivada:
Usando a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 6

Agora aplicamos a definição do campo elétrico:
Os sinais negativos se cancelam, então:
Isso confirma a segunda parte da questão.

Resposta

Portanto, mostramos que:
  1. O potencial elétrico no eixo do anel é:
  2. O campo elétrico no eixo do anel é:

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