) Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento infinito possui uma densidade volumétrica de carga
constante. Mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto externo situado a uma distância d da superfície do cilindro é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro dielétrico com raio
e comprimento infinito, que possui uma densidade volumétrica de carga constante
. A gente precisa mostrar que a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro (
) e um ponto externo a uma distância
da superfície (
) é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar esse campo para achar o potencial elétrico. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico para cilindros carregados e saber como relacionar campo elétrico com potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por esse cilindro dielétrico. Como o cilindro é infinito e possui simetria cilíndrica, podemos aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área, -
é a carga total encerrada pela superfície gaussiana, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro dado, de raio
e comprimento
. A simetria nos diz que o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em todo o cilindro gaussiano.
A área total da superfície cilíndrica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a carga encerrada
. A densidade volumétrica de carga é
, então a carga total dentro do cilindro gaussiano é:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar o potencial elétrico. A relação entre campo elétrico e potencial é dada por:
Então, podemos escrever:
Passo 7
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração que será determinada pelas condições de contorno.
Passo 8
Para encontrar a diferença de potencial entre
e
, calculamos
:
Se
for pequeno comparado a
, podemos aproximar
como desprezível:
Resposta
A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro e um ponto externo a uma distância
é: