3^circ ) Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento infinito possui uma densidade volumétrica de carga rho constante. Mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto externo situado a uma distância d da superfície do cilindro é dada por V(b)-V(b+d)=[pb^2 /(2 varepsilon0)] ln [(b+d) / b].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro dielétrico com raio V(b) - V(b + d) = [p b^22 varepsilon0] ln(b + db) e comprimento infinito, que possui uma densidade volumétrica de carga constante . A gente precisa mostrar que a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro ( ) e um ponto externo a uma distância da superfície ( ) é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar esse campo para achar o potencial elétrico. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico para cilindros carregados e saber como relacionar campo elétrico com potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por esse cilindro dielétrico. Como o cilindro é infinito e possui simetria cilíndrica, podemos aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é o elemento de área,
  • é a carga total encerrada pela superfície gaussiana,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro dado, de raio A = 2pi r L e comprimento . A simetria nos diz que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todo o cilindro gaussiano.
A área total da superfície cilíndrica é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga encerrada Qenc = rho cdot Volume = rho cdot pi r^2 L . A densidade volumétrica de carga é , então a carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0
Podemos simplificar E cdot 2 r = rho r^2varepsilon0 dos dois lados:
E = rho r2 varepsilon0
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar o potencial elétrico. A relação entre campo elétrico e potencial é dada por:
E = -dVdr
Então, podemos escrever:
-dVdr = rho r2 varepsilon0

Passo 7

Integrando ambos os lados para encontrar -integral dV = integral rho r2 varepsilon0 dr :
- V(r) = rho2 varepsilon0 cdot r^22 + C
V(r) = -rho r^24 varepsilon0 + C
Onde é a constante de integração que será determinada pelas condições de contorno.

Passo 8

Para encontrar a diferença de potencial entre V(b) - V(b + d) = (-rho b^24 varepsilon0 + C) - (-rho (b + d)^24 varepsilon0 + C) e V(b) - V(b + d) = rho (b + d)^2 - rho b^24 varepsilon0 , calculamos V(b) - V(b + d) = rho4 varepsilon0 ( (b + d)^2 - b^2 ) :
V(b) - V(b + d) = rho4 varepsilon0 ( 2 b d + d^2 )
V(b) - V(b + d) approx rho4 varepsilon0 cdot 2 b d = rho b d2 varepsilon0
Se for pequeno comparado a , podemos aproximar como desprezível:

Resposta

A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro e um ponto externo a uma distância V(b) - V(b + d) = [p b^22 varepsilon0] ln(b + db) é:

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