) Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento infinito possui uma densidade volumétrica de carga constante. Mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto externo situado a uma distância d da superfície do cilindro é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro dielétrico com raio e comprimento infinito, que possui uma densidade volumétrica de carga constante . A gente precisa mostrar que a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro ( ) e um ponto externo a uma distância da superfície ( ) é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar esse campo para achar o potencial elétrico. Vamos precisar das fórmulas de campo elétrico para cilindros carregados e saber como relacionar campo elétrico com potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado por esse cilindro dielétrico. Como o cilindro é infinito e possui simetria cilíndrica, podemos aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é o elemento de área,
  • é a carga total encerrada pela superfície gaussiana,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro dado, de raio e comprimento . A simetria nos diz que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todo o cilindro gaussiano.
A área total da superfície cilíndrica é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga encerrada . A densidade volumétrica de carga é , então a carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico, vamos encontrar o potencial elétrico. A relação entre campo elétrico e potencial é dada por:
Então, podemos escrever:

Passo 7

Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração que será determinada pelas condições de contorno.

Passo 8

Para encontrar a diferença de potencial entre e , calculamos :
Se for pequeno comparado a , podemos aproximar como desprezível:

Resposta

A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro e um ponto externo a uma distância é:

Exercícios relacionados

) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um disco de raio a carregado com uma densidade superficial de carga é dado por onde r é a distância até o centro do disco e, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do disco é dado por .
Complete a seguinte afirmação: No movimento harmônico, a ressonância acontece quando
a) a energia do sistema é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento.
b) a frequência forçante é igual à frequência natural do sistema.
c) a energia do sistema é mínima.
d) o sistema é amortecido.
e) a frequência forçante é variável.
) No problema anterior mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto interno situado a uma distância d da superfície é dado por .
Um pêndulo simples é constituído por uma bola de massa suspensa do teto por uma corda de comprimento L. A bola é deslocada de um pequeno ângulo em relação à posição de equilíbrio e depois liberada. Qual das afirmações abaixo a respeito dessa situação está correta? a) Se a massa aumenta, o período do pêndulo também aumenta.
b) A frequência do pêndulo não depende da aceleração da gravidade.
c) Se o comprimento da corda aumenta, a frequência angular do pêndulo diminui.
d) período do pêndulo não depende do comprimento da corda.
e) Se o ângulo é multiplicado por dois, a frequência angular também é multiplicada por dois.