) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um disco de raio a carregado com uma densidade superficial de carga
é dado por
onde r é a distância até o centro do disco e, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do disco é dado por
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar o potencial elétrico no eixo de um disco carregado e, a partir daí, determinar o campo elétrico nessa mesma direção. Para isso, vamos usar conceitos de densidade superficial de carga e integração para calcular o potencial, seguido de derivação para obter o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico
no eixo do disco. O potencial devido a uma distribuição de carga é dado pela fórmula:
onde:
-
é um elemento de carga, -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Como a densidade superficial de carga é
, podemos expressar
como:
Para um disco, usamos coordenadas polares onde
, com
variando de 0 a
(raio do disco). A distância
do elemento de carga até o ponto no eixo é:
Substituindo na expressão do potencial:
Passo 4
Simplificando a integral:
Fazendo uma substituição
, temos
. A integral se torna:
Passo 5
Agora que temos a expressão para o potencial elétrico
, podemos encontrar o campo elétrico
no eixo do disco. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Resposta
O potencial elétrico no eixo do disco é dado por:
E o campo elétrico no eixo do disco é: