7^circ ) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um disco de raio a carregado com uma densidade superficial de carga sigma é dado por V=[sigma /(2 varepsilon0)][(a^2+r^2)^1 / 2-r] onde r é a distância até o centro do disco e, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do disco é dado por E=[sigma /(2 varepsilon0)][1-r /(a^2+r^2)^1 / 2].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar o potencial elétrico no eixo de um disco carregado e, a partir daí, determinar o campo elétrico nessa mesma direção. Para isso, vamos usar conceitos de densidade superficial de carga e integração para calcular o potencial, seguido de derivação para obter o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico V = 14pi varepsilon0 integral dqd no eixo do disco. O potencial devido a uma distribuição de carga é dado pela fórmula:
onde:
  • é um elemento de carga,
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como a densidade superficial de carga é dq = sigma , dA , podemos expressar d = raizr^2 + r'^2 como:
V = sigma4pi varepsilon0 integral0^a 2pi r' dr'raizr^2 + r'^2
Para um disco, usamos coordenadas polares onde , com variando de 0 a (raio do disco). A distância do elemento de carga até o ponto no eixo é:
Substituindo na expressão do potencial:

Passo 4

Simplificando a integral:
V = sigma2 varepsilon0 integral0^a r' dr'raizr^2 + r'^2
Fazendo uma substituição V = sigma4 varepsilon0 integralr^2^r^2 + a^2 duraizu = sigma4 varepsilon0 [ 2raizu ]r^2^r^2 + a^2 = sigma2 varepsilon0 ( raizr^2 + a^2 - r ) , temos . A integral se torna:

Passo 5

Agora que temos a expressão para o potencial elétrico E = -dVdr , podemos encontrar o campo elétrico dVdr = sigma2 varepsilon0 ( rraizr^2 + a^2 - 1 ) no eixo do disco. Sabemos que:
E = sigma2 varepsilon0 ( 1 - rraizr^2 + a^2 )
Derivando em relação a :
Portanto,

Resposta

O potencial elétrico no eixo do disco é dado por:
V = [sigma2 varepsilon0] [raiza^2 + r^2 - r]
E o campo elétrico no eixo do disco é:
E = [sigma2 varepsilon0] [1 - rraiza^2 + r^2]

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