) Mostre que o potencial elétrico no eixo de um disco de raio a carregado com uma densidade superficial de carga é dado por onde r é a distância até o centro do disco e, a partir deste resultado, mostre que o campo elétrico no eixo do disco é dado por .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática onde precisamos encontrar o potencial elétrico no eixo de um disco carregado e, a partir daí, determinar o campo elétrico nessa mesma direção. Para isso, vamos usar conceitos de densidade superficial de carga e integração para calcular o potencial, seguido de derivação para obter o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico no eixo do disco. O potencial devido a uma distribuição de carga é dado pela fórmula:
onde:
  • é um elemento de carga,
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como a densidade superficial de carga é , podemos expressar como:
Para um disco, usamos coordenadas polares onde , com variando de 0 a (raio do disco). A distância do elemento de carga até o ponto no eixo é:
Substituindo na expressão do potencial:

Passo 4

Simplificando a integral:
Fazendo uma substituição , temos . A integral se torna:

Passo 5

Agora que temos a expressão para o potencial elétrico , podemos encontrar o campo elétrico no eixo do disco. Sabemos que:
Derivando em relação a :
Portanto,

Resposta

O potencial elétrico no eixo do disco é dado por:
E o campo elétrico no eixo do disco é:

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a) a energia do sistema é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento.
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