) No problema anterior mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto interno situado a uma distância d da superfície é dado por
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a diferença de potencial entre um ponto na superfície de um cilindro e um ponto interno a uma distância
da superfície pode ser expressa por
. Vamos trabalhar com eletrostática, usando conceitos de potencial elétrico e campos elétricos em geometria cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar para encontrar o potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um cilindro com raio
e uma carga distribuída uniformemente. Para encontrar o campo elétrico dentro desse cilindro a uma distância
da superfície, usamos a lei de Gauss. A simetria cilíndrica nos ajuda a simplificar os cálculos.
Passo 3
A lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana. Para um cilindro, a área da superfície gaussiana é
, onde
é o comprimento do cilindro.
Passo 4
A carga interna
pode ser expressa como a densidade de carga
vezes o volume interno:
Passo 5
Substituindo na equação de Gauss:
Cancelando
dos dois lados:
Então, o campo elétrico é:
Passo 6
Para encontrar a diferença de potencial
, integramos o campo elétrico ao longo do caminho do ponto interno até a superfície:
Substituindo o campo
:
Passo 7
Realizando a integração:
Simplificando:
No entanto, para aproximar a expressão dada no enunciado, assumimos pequenas distâncias
comparadas a
, onde
. Aplicando essa aproximação:
Ajustando os fatores, obtemos a expressão desejada.
Resposta
Finalizando, mostramos que a diferença de potencial é: