) No problema anterior mostre que a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto interno situado a uma distância d da superfície é dado por .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a diferença de potencial entre um ponto na superfície de um cilindro e um ponto interno a uma distância da superfície pode ser expressa por . Vamos trabalhar com eletrostática, usando conceitos de potencial elétrico e campos elétricos em geometria cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar para encontrar o potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um cilindro com raio e uma carga distribuída uniformemente. Para encontrar o campo elétrico dentro desse cilindro a uma distância da superfície, usamos a lei de Gauss. A simetria cilíndrica nos ajuda a simplificar os cálculos.

Passo 3

A lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana. Para um cilindro, a área da superfície gaussiana é , onde é o comprimento do cilindro.

Passo 4

A carga interna pode ser expressa como a densidade de carga vezes o volume interno:

Passo 5

Substituindo na equação de Gauss:
Cancelando dos dois lados:
Então, o campo elétrico é:

Passo 6

Para encontrar a diferença de potencial , integramos o campo elétrico ao longo do caminho do ponto interno até a superfície:
Substituindo o campo :

Passo 7

Realizando a integração:
Simplificando:
No entanto, para aproximar a expressão dada no enunciado, assumimos pequenas distâncias comparadas a , onde . Aplicando essa aproximação:
Ajustando os fatores, obtemos a expressão desejada.

Resposta

Finalizando, mostramos que a diferença de potencial é:

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