Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto dado . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e superfícies. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente e depois determinar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de para saber as coordenadas completas do ponto no gráfico.
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto, temos:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos calcular o valor das derivadas parciais no ponto :
Primeiro, :
Segundo, :
Passo 5
Com as derivadas parciais conhecidas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 6
A reta normal ao gráfico da função no ponto dado é uma reta que é perpendicular ao plano tangente. Para encontrá-la, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é dado pelos coeficientes das variáveis e na equação do plano.
Da equação do plano , podemos reescrever como:
Então, o vetor normal é .
Passo 7
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A fórmula geral é: