3^circ ) Um objeto de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e comprimento não distendida l0. O conjunto está sobre uma superficie horizontal sem atrito e a massa gira com uma frequência de v rotações por unidade de tempo. Mostre que a tração na mola é 4 pi^2 mk / v^2 /(k-4 pi^2 m v^2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de física envolvendo uma mola e um objeto preso nela. A massa está ligada a uma mola com constante elástica e comprimento natural . Essa montagem está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e o objeto está girando com uma frequência de rotações por unidade de tempo. Precisamos descobrir qual é a tração na mola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e a lei de Hooke para molas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto gira em círculo, ele precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. A força centrípeta Fc = m cdot omega^2 cdot r é dada pela fórmula:
onde é a velocidade angular e é o raio da trajetória.

Passo 3

A frequência de rotação omega = 2pi v está relacionada à velocidade angular Fc = m cdot (2pi v)^2 cdot r = 4pi^2 m v^2 r pela relação:
Substituindo isso na fórmula da força centrípeta:

Passo 4

Agora, vamos considerar a força exercida pela mola. Segundo a lei de Hooke, a força da mola Fmola = k cdot x é:
onde é a deformação da mola, ou seja, quanto ela foi esticada ou comprimida em relação ao seu comprimento natural .

Passo 5

Como a superfície é sem atrito e o movimento é circular, a força da mola precisa fornecer a força centrípeta necessária para o movimento. Então, temos:
Fmola = Fc
Ou seja:
k cdot x = 4pi^2 m v^2 r

Passo 6

Assumindo que o raio da trajetória r = l0 + x é igual à extensão da mola, temos:
k cdot x = 4pi^2 m v^2 (l0 + x)
Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para k x = 4pi^2 m v^2 l0 + 4pi^2 m v^2 x :
k x - 4pi^2 m v^2 x = 4pi^2 m v^2 l0
x (k - 4pi^2 m v^2) = 4pi^2 m v^2 l0
x = 4pi^2 m v^2 l0k - 4pi^2 m v^2

Passo 8

Agora que temos Fmola = k cdot x = k cdot 4pi^2 m v^2 l0k - 4pi^2 m v^2 = 4pi^2 m k v^2 l0k - 4pi^2 m v^2 , podemos encontrar a tração na mola usando a força de Hooke:

Resposta

A tração na mola é dada por:
Fmola = 4pi^2 m k v^2 l0k - 4pi^2 m v^2

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