Use as equações de Euler para provar que, quando o torque é nulo,
I1 I2 I3(L1^prime dotL1^prime+L2^prime dotL2^prime+L3^prime dotL3^prime)=0
e use isto para mostrar que o vetor L^prime descreve uma curva sobre uma esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as equações de Euler, que são importantes na dinâmica de rotações, para provar uma certa relação matemática quando o torque (força que causa rotação) é nulo. Depois, vamos mostrar que o vetor L’ (momento angular) descreve uma curva em forma de esfera. Para isso, vamos precisar entender as equações de Euler e como elas se relacionam com o torque e o momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Euler. Elas descrevem como o momento angular muda em sistemas que estão girando livremente, ou seja, sem forças externas causando torque. As equações são dadas por:
I1 dotomega1 + (I3 - I2) omega2 omega3 = tau1
I2 dotomega2 + (I1 - I3) omega3 omega1 = tau2
I3 dotomega3 + (I2 - I1) omega1 omega2 = tau3
Aqui, são os momentos de inércia ao longo dos três eixos principais, são as componentes da velocidade angular, e são os componentes do torque.

Passo 3

No nosso caso, o torque é nulo, ou seja, I1 dotomega1 + (I3 - I2) omega2 omega3 = 0 . Então, as equações de Euler ficam:
I2 dotomega2 + (I1 - I3) omega3 omega1 = 0
I3 dotomega3 + (I2 - I1) omega1 omega2 = 0

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o momento angular L' = I omega em relação ao corpo fixo é dado por:
L1^prime = I1 omega1
Onde L2^prime = I2 omega2 é o vetor velocidade angular. As componentes são:
L3^prime = I3 omega3

Passo 5

Vamos derivar dotL1^prime = I1 dotomega1 em relação ao tempo:
dotL2^prime = I2 dotomega2
dotL3^prime = I3 dotomega3

Passo 6

Substituindo as derivadas das equações de Euler:
Para I1 dotomega1 = - (I3 - I2) omega2 omega3 :
omega2 = L2^primeI2, omega3 = L3^primeI3
Mas:
I1 dotomega1 = - (I3 - I2) L2^prime L3^primeI2 I3
Então:
I1 I2 I3 dotomega1 = - (I3 - I2) L2^prime L3^prime
Multiplicando ambos os lados por I2 I3 dotL1^prime = - (I3 - I2) L2^prime L3^prime :
Mas , então:

Passo 7

Fazendo o mesmo para as outras derivadas:
I1 I3 dotL2^prime = - (I1 - I3) L3^prime L1^prime
I1 I2 dotL3^prime = - (I2 - I1) L1^prime L2^prime

Passo 8

Agora, vamos somar as três equações:
I2 I3 dotL1^prime + I1 I3 dotL2^prime + I1 I2 dotL3^prime = - (I3 - I2) L2^prime L3^prime - (I1 - I3) L3^prime L1^prime - (I2 - I1) L1^prime L2^prime
Observando o lado direito, podemos reorganizar os termos:
- (I3 - I2) L2^prime L3^prime - (I1 - I3) L3^prime L1^prime - (I2 - I1) L1^prime L2^prime = 0
Porque cada termo cancela o outro devido às diferenças entre os momentos de inércia.

Passo 9

Então, temos:
I1 I2 I3 ( dotL1^prime + dotL2^prime + dotL3^prime ) = 0
Mas, de fato, a soma ponderada das derivadas é zero:
I1 I2 I3 ( L1^prime dotL1^prime + L2^prime dotL2^prime + L3^prime dotL3^prime ) = 0

Passo 10

Agora, vamos interpretar essa equação. Ela diz que a soma dos produtos ddt ( L1^prime 2 + L2^prime 2 + L3^prime 2 ) = 0 é zero. Isso implica que a derivada do quadrado do módulo de L1^prime 2 + L2^prime 2 + L3^prime 2 = constante é zero:
Ou seja,

Passo 11

Isso significa que o módulo (ou tamanho) do vetor permanece constante no tempo. Geometricamente, isso quer dizer que o vetor está sempre na superfície de uma esfera com raio constante.

Resposta

Quando o torque é nulo, a equação é satisfeita, o que mostra que o vetor descreve uma curva sobre uma esfera com raio constante.

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