Use as equações de Euler para provar que, quando o torque é nulo,
e use isto para mostrar que o vetor
descreve uma curva sobre uma esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar as equações de Euler, que são importantes na dinâmica de rotações, para provar uma certa relação matemática quando o torque (força que causa rotação) é nulo. Depois, vamos mostrar que o vetor L’ (momento angular) descreve uma curva em forma de esfera. Para isso, vamos precisar entender as equações de Euler e como elas se relacionam com o torque e o momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Euler. Elas descrevem como o momento angular muda em sistemas que estão girando livremente, ou seja, sem forças externas causando torque. As equações são dadas por:
Aqui,
são os momentos de inércia ao longo dos três eixos principais,
são as componentes da velocidade angular, e
são os componentes do torque.
Passo 3
No nosso caso, o torque é nulo, ou seja,
. Então, as equações de Euler ficam:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que o momento angular
em relação ao corpo fixo é dado por:
Onde
é o vetor velocidade angular. As componentes são:
Passo 5
Vamos derivar
em relação ao tempo:
Passo 6
Substituindo as derivadas das equações de Euler:
Para
:
Mas:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas
, então:
Passo 7
Fazendo o mesmo para as outras derivadas:
Passo 8
Agora, vamos somar as três equações:
Observando o lado direito, podemos reorganizar os termos:
Porque cada termo cancela o outro devido às diferenças entre os momentos de inércia.
Passo 9
Então, temos:
Mas, de fato, a soma ponderada das derivadas é zero:
Passo 10
Agora, vamos interpretar essa equação. Ela diz que a soma dos produtos
é zero. Isso implica que a derivada do quadrado do módulo de
é zero:
Ou seja,
Passo 11
Isso significa que o módulo (ou tamanho) do vetor
permanece constante no tempo. Geometricamente, isso quer dizer que o vetor
está sempre na superfície de uma esfera com raio constante.
Resposta
Quando o torque é nulo, a equação
é satisfeita, o que mostra que o vetor
descreve uma curva sobre uma esfera com raio constante.
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Mostre que se
é a distância entre a partícula e a origem, então
.
No instante em que o deslocamento angular máximo é 0,32 rad, a aceleração angular de um pêndulo físico é — 630 rad/s². Qual é a frequência angular das oscilações?
○ a. 6,6 rad/s
b.
c.
O d.
e.
Limpar minha escolha
○ a. 6,6 rad/s
b.
c.
O d.
e.
Limpar minha escolha
Uma partícula está executando um movimento harmônico simples no eixo x. A amplitude do movimento é x_m. Quando a partícula está no ponto
, a energia cinética é
ea energia potencial (
) é
. Quando a particula está no ponto
a energia potencial e a energia cinética são, respectivamente,
O. e U=2J
b. e
c.
d.
e. e
Limpar minha escolha
O.
b.
c.
d.
e.
Limpar minha escolha