Mostre que se r é a distância entre a partícula e a origem, então ddotr=omega^2 r.

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo é para provar que, se é a distância entre uma partícula e a origem, então a segunda derivada de em relação ao tempo, representada por , é igual a . Vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular e como calcular acelerações nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimento circular uniforme, a posição da partícula pode ser descrita pelas coordenadas polares: (a distância ao centro) e (o ângulo). Se o movimento é uniforme, então a velocidade angular é constante.

Passo 3

A posição da partícula em coordenadas polares é dada por:
r = r cos(theta) , i + r sin(theta) , j
Como o movimento é circular uniforme, é constante e , onde é a velocidade angular.

Passo 4

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada nos dá a velocidade:
v = drdt = -r omega sin(omega t) , i + r omega cos(omega t) , j
E a segunda derivada nos dá a aceleração:
a = dvdt = -r omega^2 cos(omega t) , i - r omega^2 sin(omega t) , j

Passo 5

Observe que a aceleração a = -omega^2 (r cos(omega t) , i + r sin(omega t) , j) = -omega^2 r pode ser escrita como:
Isso mostra que a aceleração é proporcional à posição, mas na direção oposta.

Passo 6

Agora, focando apenas na componente radial da aceleração, temos:
ddotr = omega^2 r
Isso confirma o que a questão pedia para ser mostrado.

Resposta

ddotr = omega^2 r

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