Nos exercícios seguintes encontre sigma'(t) e sigma''(t).
(a) sigma(t) = (t^2 - 3) i + (2t + 1) j
(b) sigma(t) = e^(2 t) i + ln(t) j
© sigma(t) = cos(2t) i + tan(t) j
(d) sigma(t) = arctan(2t)i + 2^t j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primeira e a segunda derivada das funções vetoriais dadas. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente em derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial sigma(t) é composta por componentes nas direções i e j. Para encontrar sigma'(t), precisamos derivar cada componente em relação a t. Da mesma forma, para sigma''(t), derivamos novamente as componentes de sigma'(t).

Passo 3

Vamos começar com a parte (a):
sigma(t) = (t^2 - 3) i + (2t + 1) j
Primeira derivada:
Derivamos cada componente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,
Segunda derivada:
Derivamos novamente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é 0
Então,

Passo 4

Agora, para a parte (b):
sigma(t) = e^(2 t) i + ln(t) j
Primeira derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,
Segunda derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,

Passo 5

Vamos para a parte ©:
sigma(t) = cos(2t) i + tan(t) j
Primeira derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de tan t é
Então,
Segunda derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,

Passo 6

Finalmente, a parte (d):
sigma(t) = arctan(2t)i + 2^t j
Primeira derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,
Segunda derivada:
  • Derivada de é
  • Derivada de é
Então,

Resposta

As derivadas das funções vetoriais são:
(a)
(b)
©
(d)

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