As equações paramétricas para a trocoide são
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se
.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão nos dá as equações paramétricas de uma trocoide:
E nos pede para mostrar que essa curva nunca tem uma reta tangente vertical quando
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e verificar se essa inclinação pode ser infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inclinação da reta tangente em uma curva paramétrica. A inclinação
é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Para que a reta tangente seja vertical, a inclinação
precisa ser infinita, ou seja, o denominador deve ser zero enquanto o numerador não é zero. Vamos verificar se isso acontece.
Passo 6
Vamos igualar o denominador a zero:
Mas, sabemos que o valor de
está sempre entre -1 e 1. Como
, então
, o que é impossível para o cosseno de qualquer ângulo real. Portanto, não há nenhum valor de
que satisfaça essa equação.
Resposta
Assim, concluímos que a trocoide definida pelas equações
e
não possui reta tangente vertical quando
.
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (
) dado.
a) e
a)
encontre
e
sem eliminar o parâmetro
.
Encontre o vetor posição
, se o vetor aceleração é
, sempre que