As equações paramétricas para a trocoide são
x = a*t - b*sen(t) e y = a - b*cos(t)
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se a > b > 0.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão nos dá as equações paramétricas de uma trocoide:
E nos pede para mostrar que essa curva nunca tem uma reta tangente vertical quando . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e verificar se essa inclinação pode ser infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a inclinação da reta tangente em uma curva paramétrica. A inclinação é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da inclinação:
Para que a reta tangente seja vertical, a inclinação precisa ser infinita, ou seja, o denominador deve ser zero enquanto o numerador não é zero. Vamos verificar se isso acontece.

Passo 6

Vamos igualar o denominador a zero:
Mas, sabemos que o valor de está sempre entre -1 e 1. Como , então , o que é impossível para o cosseno de qualquer ângulo real. Portanto, não há nenhum valor de que satisfaça essa equação.

Resposta

Assim, concluímos que a trocoide definida pelas equações e não possui reta tangente vertical quando .

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