Encontre o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
nos seguintes casos: (a) de a ; (b) de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comprimento de arco de uma curva parametrizada. A gente tem as equações e . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas definidas por funções paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações e fazer algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e :
Isso significa que a gente vai precisar derivar e em relação a , colocar esses valores na fórmula e integrar de até .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções e :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, podemos fatorar :
Como vamos integrar em intervalos específicos, podemos considerar positivo ou negativo conforme o caso.
Passo 5
Vamos agora resolver para cada caso:
a) De a :
Nesse intervalo, é sempre positivo, então . A integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe
Então, →
Substituindo:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:
b) De a :
Nesse intervalo, é negativo, então . A integral fica:
Fazendo a substituição similar:
Deixe
Então, →
Como é negativo, será positivo. A integral fica:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
(a) O comprimento de arco de a é aproximadamente 2,26 unidades.
(b) O comprimento de arco de a é aproximadamente 11,52 unidades.