circledast Encontre o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
x = t^3 e y = 2t^2
nos seguintes casos: (a) de t = 0 a t = 1; (b) de t = -2 a t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comprimento de arco de uma curva parametrizada. A gente tem as equações e . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas definidas por funções paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e :
Isso significa que a gente vai precisar derivar e em relação a , colocar esses valores na fórmula e integrar de até .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, podemos fatorar :
Como vamos integrar em intervalos específicos, podemos considerar positivo ou negativo conforme o caso.

Passo 5

Vamos agora resolver para cada caso:

a) De a :

Nesse intervalo, é sempre positivo, então . A integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
  • Deixe
  • Então,
Substituindo:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:

b) De a :

Nesse intervalo, é negativo, então . A integral fica:
Fazendo a substituição similar:
  • Deixe
  • Então,
Como é negativo, será positivo. A integral fica:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

(a) O comprimento de arco de a é aproximadamente 2,26 unidades.
(b) O comprimento de arco de a é aproximadamente 11,52 unidades.

Exercícios relacionados

Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de sigma'(t). Encontre sigma(t) * sigma'(t). Interprete o resultado geometricamente.
(a) sigma(t) = cos(t) * i + sen(t) * j
(b) sigma(t) = cosh(t) * i + senh(t) * j
Para a hipocicloide de quatro vértices, x = a cos^3(t) e y = a sen^3(t), encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parametro.
Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
rho = 2 - cos(theta)
Encontre o comprimento de arco da curva,
σ(t) = t cos(t) i + t sen(t) j + t k, t = 0 a t = pi/2