Desenhe a curva dada (coordenadas polares):
Passo 1
Beleza, vamos desenhar a curva dada pela equação
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que são uma forma diferente de representar pontos no plano usando um ângulo (
) e uma distância (
) do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar e plotar essa equação no sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está nos dizendo. Em coordenadas polares,
representa a distância do ponto à origem, e
é o ângulo que esse ponto faz com o eixo positivo de
. Então, para cada valor de
, podemos calcular
e assim obter as coordenadas de um ponto na curva.
Passo 3
Vamos agora calcular alguns valores de
para diferentes valores de
para ter pontos que nos ajudem a desenhar a curva. Vamos escolher valores de
de 0 a
(0 a 360 graus), que cobre uma volta completa no círculo.
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Passo 4
Plotando esses pontos no sistema polar, observamos que a curva começa em
quando
, sobe até
em
, e volta para
em
. Isso sugere que a curva tem uma forma simétrica e parece uma limácua ou um tipo de cardioide.
Passo 5
Vamos analisar a forma geral da equação
. Quando
, como no nosso caso (
), a curva é conhecida como limácua com dente, que tem uma forma semelhante a uma gota ou um coração com uma “dentada”.
Passo 6
Para desenhar a curva com mais precisão, vamos calcular mais alguns pontos intermediários:
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Passo 7
Com todos esses pontos, podemos desenhar a curva no sistema polar conectando os pontos calculados. A curva terá um “dente” em
e se estenderá até
em
, formando uma espécie de loop.
Resposta
A curva
é uma limácua simétrica com um dente, que se estende desde
até
conforme
varia de
a
. Ao plotar os pontos calculados e conectar suavemente, obtemos uma forma semelhante a uma gota com um detalhe saliente.
Exercícios relacionados
nos seguintes casos: (a) de
a
; (b) de
a
.
Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(a)
(b)
(a)
(b)
Encontre o comprimento de arco da curva,
Desenhe a curva dada (coordenadas polares):