Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da curva que é descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Além disso, vamos calcular o produto escalar
e entender o que isso significa geometricamente. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.
Passo 2
Parte (a):
Encontrando
Primeiro, precisamos achar a derivada de
em relação a
, que é
.
Equação Cartesiana da Curva de
Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da curva descrita por
. Se chamarmos as componentes de
de e
, podemos relacionar
e
:
Sabemos que , então:
Portanto, a equação cartesiana é:
Calculando
O produto escalar de
e
é:
Interpretação Geométrica
O resultado
indica que os vetores
e
são perpendiculares entre si em todos os pontos da curva.
Passo 3
Parte (b):
Encontrando
Vamos calcular a derivada de
:
Equação Cartesiana da Curva de
Chamando as componentes de
de e
, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, a equação cartesiana é:
Calculando
O produto escalar de
e
é:
Podemos simplificar usando a identidade :
Interpretação Geométrica
O produto escalar nos dá uma medida de como os vetores
e
estão orientados em relação um ao outro. Como não é sempre zero, isso indica que os vetores não são perpendiculares e o ângulo entre eles varia conforme
.
Resposta
(a) A equação cartesiana é
, o produto escalar
indica que os vetores são perpendiculares.
(b) A equação cartesiana é
, o produto escalar mostra que os vetores não são perpendiculares e o ângulo entre eles varia com
.
Exercícios relacionados
Para a hipocicloide de quatro vértices,
e
, encontre
e
sem eliminar o parametro.
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) e
a)
nos seguintes casos: (a) de
a
; (b) de
a
.
Desenhe a curva dada (coordenadas polares):