Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de sigma'(t). Encontre sigma(t) * sigma'(t). Interprete o resultado geometricamente.
(a) sigma(t) = cos(t) * i + sen(t) * j
(b) sigma(t) = cosh(t) * i + senh(t) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da curva que é descrita pelo ponto final da representação posicional de . Além disso, vamos calcular o produto escalar e entender o que isso significa geometricamente. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Parte (a):

Encontrando

Primeiro, precisamos achar a derivada de em relação a , que é .

Equação Cartesiana da Curva de

Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da curva descrita por . Se chamarmos as componentes de de e , podemos relacionar e :
Sabemos que , então:
Portanto, a equação cartesiana é:

Calculando

O produto escalar de e é:

Interpretação Geométrica

O resultado indica que os vetores e são perpendiculares entre si em todos os pontos da curva.

Passo 3

Parte (b):

Encontrando

Vamos calcular a derivada de :

Equação Cartesiana da Curva de

Chamando as componentes de de e , temos:
Sabemos que , então:
Portanto, a equação cartesiana é:

Calculando

O produto escalar de e é:
Podemos simplificar usando a identidade :

Interpretação Geométrica

O produto escalar nos dá uma medida de como os vetores e estão orientados em relação um ao outro. Como não é sempre zero, isso indica que os vetores não são perpendiculares e o ângulo entre eles varia conforme .

Resposta

(a) A equação cartesiana é , o produto escalar indica que os vetores são perpendiculares.
(b) A equação cartesiana é , o produto escalar mostra que os vetores não são perpendiculares e o ângulo entre eles varia com .

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a) f(x, y) = 3x + y e x^2 + 2y^2 = 1
circledast Encontre o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
x = t^3 e y = 2t^2
nos seguintes casos: (a) de t = 0 a t = 1; (b) de t = -2 a t = 0.
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rho = 2 - cos(theta)