Para a hipocicloide de quatro vértices,
e
, encontre
e
sem eliminar o parametro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas primeira e segunda de
em relação a
para a hipocicloide de quatro vértices, dadas pelas equações paramétricas:
Vamos trabalhar com cálculo diferencial paramétrico para achar
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
e a derivada de
em relação a
, ou seja,
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a regra da cadeia:
Aqui, podemos simplificar os termos que se repetem.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, precisamos derivar
em relação a
e depois dividir por
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:
Lembrando que
, então
.
Passo 7
Substituindo
:
Resposta
As derivadas solicitadas são:
Exercícios relacionados
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) e
a)
Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(a)
(b)
(a)
(b)
nos seguintes casos: (a) de
a
; (b) de
a
.