circledast Uma partícula move-se ao longo de uma curva com a equação vetorial
sigma(t) = t i + e^t j
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva cuja posição em função do tempo é dada pela equação vetorial:
Nosso objetivo aqui é descobrir as componentes tangencial e normal do vetor aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial: vamos derivar a posição para achar a velocidade, depois derivar a velocidade para achar a aceleração, e daí separar essa aceleração nas partes que são na direção do movimento (tangencial) e perpendicular a ela (normal).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando :
Então, a velocidade é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, a aceleração é .

Passo 4

Para achar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro calcular a velocidade escalar (a rapidez), que é o módulo do vetor velocidade:
A componente tangencial da aceleração, , é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação que envolve a aceleração total, a componente tangencial e a velocidade:
Sabemos que a aceleração total , então:
Simplificando:

Resposta

As componentes da aceleração são:
e

Exercícios relacionados

Mostre que lim x 0 x^2 2^cos (1 / x)=0.
Nos exercícios a seguir encontre o triedro móvel e a curvatura da curva dada em t = t1 se existirem.
(a) sigma(t) = (t + l) i - t^2 j + (1 - 2t) k ; t1 = -1
(b) sigma(t) = sen(2t) i + cos(2t) j + 2t^(3/2) k ; t1 = 0
© sigma(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k ; t1 = 0
(d) sigma(t) = t^2 i + (t + t^3/3) j + (t - t^3/3) k ; t1 = 1
Mostre que a equação x^3 - 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto 1 < x < 2.
Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a) sigma(t) = cosh(2t) i + senh(2t) j
(b) sigma(t) = (2 arctan(t) - t) i + ln(1 + t^2) j