Uma partícula move-se ao longo de uma curva com a equação vetorial
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva cuja posição em função do tempo
é dada pela equação vetorial:
Nosso objetivo aqui é descobrir as componentes tangencial e normal do vetor aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial: vamos derivar a posição para achar a velocidade, depois derivar a velocidade para achar a aceleração, e daí separar essa aceleração nas partes que são na direção do movimento (tangencial) e perpendicular a ela (normal).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando
:
Então, a velocidade é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, a aceleração é
.
Passo 4
Para achar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro calcular a velocidade escalar (a rapidez), que é o módulo do vetor velocidade:
A componente tangencial da aceleração,
, é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação que envolve a aceleração total, a componente tangencial e a velocidade:
Sabemos que a aceleração total
, então:
Simplificando:
Resposta
As componentes da aceleração são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Nos exercícios a seguir encontre o triedro móvel e a curvatura da curva dada em
se existirem.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto
.
Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a)
(b)
(a)
(b)