Nos exercícios a seguir encontre o triedro móvel e a curvatura da curva dada em t = t1 se existirem.
(a) sigma(t) = (t + l) i - t^2 j + (1 - 2t) k ; t1 = -1
(b) sigma(t) = sen(2t) i + cos(2t) j + 2t^(3/2) k ; t1 = 0
© sigma(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k ; t1 = 0
(d) sigma(t) = t^2 i + (t + t^3/3) j + (t - t^3/3) k ; t1 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o triedro móvel (que são os vetores tangente, normal e binormal) e a curvatura da curva dada quando . A matéria aqui envolve cálculo de vetores e derivadas, além de conceitos de geometria diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar o vetor tangente, e usar essas informações para achar a curvatura e os vetores do triedro móvel.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função posição . Isso nos dá o vetor velocidade da curva.
Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada segunda , que nos dá a aceleração.
Derivando :

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor tangente unitário . Ele é obtido normalizando .
Primeiro, calculamos a norma de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a curvatura . A fórmula para a curvatura é:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
A norma desse vetor é:
Agora, plugamos na fórmula da curvatura:

Passo 6

Vamos agora avaliar a curvatura em :

Passo 7

Para completar o triedro móvel, precisamos dos vetores normal e binormal .
Primeiro, o vetor normal unitário:
Vamos encontrar . Sabemos que:
Derivando em relação a :
Simplificando em :
Então,
Simplificando,
Finalmente, o vetor binormal:
Calculando em :
Após os cálculos (que envolvem produto vetorial), obtemos .

Resposta

Em , o triedro móvel é dado por:
A curvatura da curva nesse ponto é:

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sigma(t) = t i + t^2 j + t^3 k
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