Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o triedro móvel (que são os vetores tangente, normal e binormal) e a curvatura da curva dada quando . A matéria aqui envolve cálculo de vetores e derivadas, além de conceitos de geometria diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição, normalizar o vetor tangente, e usar essas informações para achar a curvatura e os vetores do triedro móvel.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função posição . Isso nos dá o vetor velocidade da curva.
Derivando cada componente em relação a :
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada segunda, que nos dá a aceleração.
Derivando :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor tangente unitário. Ele é obtido normalizando .
Primeiro, calculamos a norma de :
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a curvatura. A fórmula para a curvatura é:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
A norma desse vetor é:
Agora, plugamos na fórmula da curvatura:
Passo 6
Vamos agora avaliar a curvatura em :
Passo 7
Para completar o triedro móvel, precisamos dos vetores normal e binormal .
Primeiro, o vetor normal unitário:
Vamos encontrar . Sabemos que:
Derivando em relação a :
Simplificando em :
Então,
Simplificando,
Finalmente, o vetor binormal:
Calculando em :
Após os cálculos (que envolvem produto vetorial), obtemos .