Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar, para duas funções vetoriais diferentes, o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar, e as componentes normal e tangencial da aceleração. Para isso, vamos precisar usar derivadas de funções vetoriais e entender um pouco sobre movimentos no espaço. Vamos lá!
Passo 2
Item (a): Encontrando o vetor velocidade
Primeiro, o vetor posição é dado por:
Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Sabendo que a derivada de
é
e a derivada de
é
, temos:
Passo 3
Item (a): Encontrando o vetor aceleração
Agora, para encontrar a aceleração, derivamos o vetor velocidade:
Derivando cada componente:
Então:
Passo 4
Item (a): Calculando a velocidade escalar
A velocidade escalar, ou velocidade, é o módulo do vetor velocidade:
Simplificando:
Sabendo que
, podemos reescrever:
Portanto:
Passo 5
Item (a): Componentes normal e tangencial da aceleração
Primeiro, a componente tangencial da aceleração (
) é a derivada da velocidade escalar:
A componente normal (
) é dada por:
Onde
é o raio de curvatura. Porém, para movimentos planos, também podemos calcular usando:
Calculando o produto vetorial:
Então:
Passo 6
Item (b): Encontrando o vetor velocidade
Agora, para a segunda função vetorial:
Derivando para encontrar a velocidade:
Passo 7
Item (b): Encontrando o vetor aceleração
Derivando o vetor velocidade:
Passo 8
Item (b): Calculando a velocidade escalar
A velocidade escalar é:
Simplificando:
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 1.
Passo 9
Item (b): Componentes normal e tangencial da aceleração
Como a velocidade escalar é constante (
), toda a aceleração é na direção normal:
Mas como
e não temos o raio diretamente, podemos usar:
Calculando a magnitude do vetor aceleração:
Portanto, a componente normal da aceleração é:
Resposta
Item (a):
Item (b):
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto
.
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Calcule os seguintes limites:
Se
e
são medidos em centímetros, encontre a velocidade escalar e o módulo do vetor aceleração da partícula em
segundos. Faça um esboço da trajetória da partícula, e trace as representações do vetor velocidade e do vetor aceleração tendo como ponto inicial
.