Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a) sigma(t) = cosh(2t) i + senh(2t) j
(b) sigma(t) = (2 arctan(t) - t) i + ln(1 + t^2) j

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar, para duas funções vetoriais diferentes, o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar, e as componentes normal e tangencial da aceleração. Para isso, vamos precisar usar derivadas de funções vetoriais e entender um pouco sobre movimentos no espaço. Vamos lá!

Passo 2

Item (a): Encontrando o vetor velocidade
Primeiro, o vetor posição é dado por:
Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar em relação ao tempo :
Sabendo que a derivada de é e a derivada de é , temos:

Passo 3

Item (a): Encontrando o vetor aceleração
Agora, para encontrar a aceleração, derivamos o vetor velocidade:
Derivando cada componente:
Então:

Passo 4

Item (a): Calculando a velocidade escalar
A velocidade escalar, ou velocidade, é o módulo do vetor velocidade:
Simplificando:
Sabendo que , podemos reescrever:
Portanto:

Passo 5

Item (a): Componentes normal e tangencial da aceleração
Primeiro, a componente tangencial da aceleração ( ) é a derivada da velocidade escalar:
A componente normal ( ) é dada por:
Onde é o raio de curvatura. Porém, para movimentos planos, também podemos calcular usando:
Calculando o produto vetorial:
Então:

Passo 6

Item (b): Encontrando o vetor velocidade
Agora, para a segunda função vetorial:
Derivando para encontrar a velocidade:

Passo 7

Item (b): Encontrando o vetor aceleração
Derivando o vetor velocidade:

Passo 8

Item (b): Calculando a velocidade escalar
A velocidade escalar é:
Simplificando:
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 1.

Passo 9

Item (b): Componentes normal e tangencial da aceleração
Como a velocidade escalar é constante ( ), toda a aceleração é na direção normal:
Mas como e não temos o raio diretamente, podemos usar:
Calculando a magnitude do vetor aceleração:
Portanto, a componente normal da aceleração é:

Resposta

Item (a):
Item (b):

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sigma(t) = t i + e^t j
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