Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto
.
Passo 1
Vamos analisar a equação
e mostrar que ela tem pelo menos uma solução no intervalo aberto
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em intervalos onde a função é contínua.
Passo 2
Primeiro, definimos a função
. Essa função é um polinômio, e sabemos que funções polinomiais são contínuas em todos os números reais. A continuidade é importante para aplicarmos o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função no ponto
:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos o valor da função no ponto
:
Portanto,
.
Passo 5
Observamos que:
Ou seja,
é negativo e
é positivo. Isso indica que a função passou de um valor negativo para um valor positivo ao ir de
para
.
Passo 6
Como a função
é contínua no intervalo
e mudou de sinal (de negativo para positivo), o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto
.
Exercícios relacionados
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Mostre que
.
Nos exercícios dados, encontre (a) o vetor velocidade e o vetor aceleração, (b) a velocidade escalar e © as componentes normal e tangencial da aceleração.
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule os seguintes limites: