Mostre que a equação x^3 - 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto 1 < x < 2.

Passo 1

Vamos analisar a equação e mostrar que ela tem pelo menos uma solução no intervalo aberto . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em intervalos onde a função é contínua.

Passo 2

Primeiro, definimos a função . Essa função é um polinômio, e sabemos que funções polinomiais são contínuas em todos os números reais. A continuidade é importante para aplicarmos o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos o valor da função no ponto :
Portanto, .

Passo 5

Observamos que:
Ou seja, é negativo e é positivo. Isso indica que a função passou de um valor negativo para um valor positivo ao ir de para .

Passo 6

Como a função é contínua no intervalo e mudou de sinal (de negativo para positivo), o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um valor em tal que .

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo aberto .

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