circledast Um projétil é atirado de uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é pi / 6. Sua velocidade na boca da arma é 480 m/s. Encontre (a) o vetor posição do projétil em qualquer instante; (b) o tempo de voo; © o alcance; (d) a altura máxima; (e) o vetor velocidade no impacto; (f) o vetor posição e o vetor velocidade em 2 s; (g) a velocidade escalar em 2 s; e (h) a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de movimento de projétil, que é quando a gente lança algo num certo ângulo e com certa velocidade. Aqui, a bala sai da arma com uma velocidade de 480 metros por segundo e é lançada em um ângulo de radianos (que é igual a 30 graus). A gente vai precisar das fórmulas de movimento uniformemente variado pra entender como a bala se move no ar. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!

Passo 2

Parte a: Encontrar o vetor posição do projétil em qualquer instante
Primeiro, vamos descobrir como a posição da bala muda com o tempo. Pra isso, a gente divide a velocidade inicial nos componentes horizontal e vertical.
A velocidade horizontal é:
E a velocidade vertical é:
Onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração devido à gravidade,
  • t é o tempo.
Então, o vetor posição vec(r)(t) fica:

Passo 3

Parte b: Calcular o tempo de voo
O tempo de voo é o tempo que a bala fica no ar até voltar ao chão. Isso acontece quando a componente vertical da posição é zero.
Usamos a equação vertical:
Fatorando t:
Uma solução é t = 0 (quando a bala é lançada) e a outra é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Parte c: Determinar o alcance
O alcance é a distância horizontal que a bala percorre durante o tempo de voo.
Usamos a componente horizontal da posição:
Substituindo :
Sabendo que :

Passo 5

Parte d: Calcular a altura máxima
A altura máxima é alcançada quando a velocidade vertical é zero.
Usamos a equação vertical:
Isolando t:
Agora, substituímos t na equação da posição vertical:

Passo 6

Parte e: Encontrar o vetor velocidade no impacto
No impacto, a componente horizontal da velocidade continua a mesma, já que não há aceleração horizontal:
A componente vertical invertida:
Então, o vetor velocidade no impacto é:

Passo 7

Parte f: Determinar o vetor posição e o vetor velocidade em 2 segundos
Primeiro, a posição em :
Então, o vetor posição é:
Agora, a velocidade em :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 8

Parte g: Calcular a velocidade escalar em 2 segundos
A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:

Passo 9

Parte h: Encontrar a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil
Queremos expressar y em função de x. Sabemos que:
Substituindo t na equação de y:
Simplificando:
Então, a equação cartesiana é:

Resposta

A resposta para cada parte do exercício é:
a) Vetor posição:
b) Tempo de voo: aproximadamente 48,98 segundos
c) Alcance: aproximadamente 20.462,4 metros
d) Altura máxima: aproximadamente 2.937,6 metros
e) Vetor velocidade no impacto:
f) Em 2 segundos:
  • Vetor posição:
  • Vetor velocidade:
g) Velocidade escalar em 2 segundos: aproximadamente 470,1 m/s
h) Equação cartesiana da curva:

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