Um projétil é atirado de uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é
. Sua velocidade na boca da arma é
. Encontre (a) o vetor posição do projétil em qualquer instante; (b) o tempo de voo; © o alcance; (d) a altura máxima; (e) o vetor velocidade no impacto; (f) o vetor posição e o vetor velocidade em
; (g) a velocidade escalar em
; e (h) a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de movimento de projétil, que é quando a gente lança algo num certo ângulo e com certa velocidade. Aqui, a bala sai da arma com uma velocidade de 480 metros por segundo e é lançada em um ângulo de
radianos (que é igual a 30 graus). A gente vai precisar das fórmulas de movimento uniformemente variado pra entender como a bala se move no ar. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo!
Passo 2
Parte a: Encontrar o vetor posição do projétil em qualquer instante
Primeiro, vamos descobrir como a posição da bala muda com o tempo. Pra isso, a gente divide a velocidade inicial nos componentes horizontal e vertical.
A velocidade horizontal é:
E a velocidade vertical é:
Onde:
-
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração devido à gravidade, -
é o tempo.
Então, o vetor posição
fica:
Passo 3
Parte b: Calcular o tempo de voo
O tempo de voo é o tempo que a bala fica no ar até voltar ao chão. Isso acontece quando a componente vertical da posição é zero.
Usamos a equação vertical:
Fatorando
:
Uma solução é
(quando a bala é lançada) e a outra é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte c: Determinar o alcance
O alcance é a distância horizontal que a bala percorre durante o tempo de voo.
Usamos a componente horizontal da posição:
Substituindo
:
Sabendo que
:
Passo 5
Parte d: Calcular a altura máxima
A altura máxima é alcançada quando a velocidade vertical é zero.
Usamos a equação vertical:
Isolando
:
Agora, substituímos
na equação da posição vertical:
Passo 6
Parte e: Encontrar o vetor velocidade no impacto
No impacto, a componente horizontal da velocidade continua a mesma, já que não há aceleração horizontal:
A componente vertical invertida:
Então, o vetor velocidade no impacto é:
Passo 7
Parte f: Determinar o vetor posição e o vetor velocidade em 2 segundos
Primeiro, a posição em
:
Então, o vetor posição é:
Agora, a velocidade em
:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 8
Parte g: Calcular a velocidade escalar em 2 segundos
A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Passo 9
Parte h: Encontrar a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil
Queremos expressar
em função de
. Sabemos que:
Substituindo
na equação de
:
Simplificando:
Então, a equação cartesiana é:
Resposta
A resposta para cada parte do exercício é:
a) Vetor posição:
b) Tempo de voo: aproximadamente 48,98 segundos
c) Alcance: aproximadamente 20.462,4 metros
d) Altura máxima: aproximadamente 2.937,6 metros
e) Vetor velocidade no impacto:
f) Em 2 segundos:
- Vetor posição:
- Vetor velocidade:
g) Velocidade escalar em 2 segundos: aproximadamente 470,1 m/s
h) Equação cartesiana da curva:
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Encontre o triedro móvel e a curvatura no ponto onde
da cúbica retorcida
Se a equação vetorial da curva
for
, encontre o cosseno do ângulo entre os vetores
e
Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) e
a)
Para a hipocicloide de quatro vértices,
e
, encontre
e
sem eliminar o parametro.