Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos da função
sujeita à restrição
. Isso está relacionado ao estudo de máximos e mínimos com restrições, e para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele ajuda a encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é introduzir uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange (
), e resolver o sistema de equações que surge.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange, que é dada por:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
e igualar a zero:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1) e (2) para
e
em termos de
:
Passo 6
Substituímos as expressões de
e
das equações (4) e (5) na equação da restrição (3):
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
e
para cada caso:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular os valores de
nos pontos encontrados:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os máximos e mínimos da função
sob a restrição
são:
- Máximo:
no ponto - Mínimo:
no ponto
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e
, encontre
e
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. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(a)
(b)
(a)
(b)