Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) f(x, y) = 3x + y e x^2 + 2y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos da função sujeita à restrição . Isso está relacionado ao estudo de máximos e mínimos com restrições, e para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele ajuda a encontrar os pontos máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é introduzir uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange ( ), e resolver o sistema de equações que surge.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange, que é dada por:
No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e e igualar a zero:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para e em termos de :

Passo 6

Substituímos as expressões de e das equações (4) e (5) na equação da restrição (3):
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar e para cada caso:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Finalmente, vamos calcular os valores de nos pontos encontrados:
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os máximos e mínimos da função sob a restrição são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto

Exercícios relacionados

circledast Um projétil é atirado de uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é pi / 6. Sua velocidade na boca da arma é 480 m/s. Encontre (a) o vetor posição do projétil em qualquer instante; (b) o tempo de voo; © o alcance; (d) a altura máxima; (e) o vetor velocidade no impacto; (f) o vetor posição e o vetor velocidade em 2 s; (g) a velocidade escalar em 2 s; e (h) a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil.
Encontre o triedro móvel e a curvatura no ponto onde t = 1 da cúbica retorcida
sigma(t) = t i + t^2 j + t^3 k
Para a hipocicloide de quatro vértices, x = a cos^3(t) e y = a sen^3(t), encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parametro.
Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de sigma'(t). Encontre sigma(t) * sigma'(t). Interprete o resultado geometricamente.
(a) sigma(t) = cos(t) * i + sen(t) * j
(b) sigma(t) = cosh(t) * i + senh(t) * j