Encontre o triedro móvel e a curvatura no ponto onde t = 1 da cúbica retorcida
sigma(t) = t i + t^2 j + t^3 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o triedro móvel e a curvatura no ponto onde da cúbica retorcida definida por
Isso está relacionado ao estudo de geometria diferencial de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da posição para achar os vetores tangente, normal e binormal, além da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função posição , que nos dá o vetor velocidade :
No ponto :

Passo 3

Agora, encontramos a derivada segunda , que nos ajuda a achar a curvatura:
No ponto :

Passo 4

Para achar o vetor tangente unitário , normalizamos :
Calculando a norma de :
Então,

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal unitário . Primeiro, calculamos a derivada de em relação a , e depois normalizamos:
Para simplificar, podemos usar a fórmula que relaciona e :
Calculando a norma de :
Então,

Passo 6

Por último, encontramos o vetor binormal unitário , que é o produto vetorial de e :
Calculando em :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos calcular a curvatura usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
A norma desse vetor:
Já tínhamos:
Então,

Resposta

O triedro móvel no ponto é formado por:
e a curvatura no ponto é aproximadamente .

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