Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
dd t[l x1 x2 ]=[rr -12 & -18 2 & -12 ]binomx1x2
Determine a solução do sistema onde x1 é a corrente através do indutor, x2 é a queda de voltagem através do capacitor e I(t) é a corrente fornecida pela fonte externa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico, onde é a corrente através do indutor, é a queda de voltagem através do capacitor, e é a corrente fornecida pela fonte externa. Nosso objetivo é encontrar as soluções para e com base nesse sistema. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e encontrar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz que define o sistema.

Passo 2

O sistema de equações diferenciais dado pode ser representado de forma matricial assim:
ddt x1 x2 = -12 & -18 2 & -12 x1 x2
Para resolver esse sistema, vamos procurar soluções que sejam combinações lineares de funções exponenciais. Isso porque sistemas lineares com coeficientes constantes costumam ter soluções dessa forma.

Passo 3

Vamos assumir que as soluções têm a forma:
x(t) = v e^lambda t
Aqui, é um valor próprio da matriz do sistema, e é o vetor próprio correspondente. Nosso próximo passo é encontrar esses valores próprios ( ) resolvendo a equação característica da matriz.

Passo 4

A equação característica é encontrada determinando o determinante da matriz det ( A - lambda I ) = 0 , onde det ( -12 - lambda & -18 2 & -12 - lambda ) = 0 é a matriz dos coeficientes e ( -12 - lambda )^2 - (-18)(2) = 0 é a matriz identidade. Assim, temos:
( lambda + 12 )^2 + 14 = 0
Aplicando isso ao nosso sistema:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para ( lambda + 12 )^2 = -14 :
lambda + 12 = pm 12i
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
lambda = -12 pm 12i
Isolando :
Portanto, os valores próprios são complexos: .

Passo 6

Com os valores próprios complexos, sabemos que as soluções do sistema terão uma parte exponencial e uma parte oscilatória (seno e cosseno). A solução geral do sistema será:
x(t) = e^-12 t [ C1 cos( 12 t ) + C2 sin( 12 t ) ]
Aqui, e são vetores de constantes que serão determinados pelas condições iniciais do circuito, ou seja, pelos valores de e .

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
x1(t) x2(t) = e^-12 t [ C1 cos( 12 t ) + C2 sin( 12 t ) ]
Onde e são vetores constantes que dependem das condições iniciais do circuito elétrico.

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