Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Determine a solução do sistema onde
é a corrente através do indutor,
é a queda de voltagem através do capacitor e
é a corrente fornecida pela fonte externa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico, onde
é a corrente através do indutor,
é a queda de voltagem através do capacitor, e
é a corrente fornecida pela fonte externa. Nosso objetivo é encontrar as soluções para
e
com base nesse sistema. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e encontrar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz que define o sistema.
Passo 2
O sistema de equações diferenciais dado pode ser representado de forma matricial assim:
Para resolver esse sistema, vamos procurar soluções que sejam combinações lineares de funções exponenciais. Isso porque sistemas lineares com coeficientes constantes costumam ter soluções dessa forma.
Passo 3
Vamos assumir que as soluções têm a forma:
Aqui,
é um valor próprio da matriz do sistema, e
é o vetor próprio correspondente. Nosso próximo passo é encontrar esses valores próprios (
) resolvendo a equação característica da matriz.
Passo 4
A equação característica é encontrada determinando o determinante da matriz
, onde
é a matriz dos coeficientes e
é a matriz identidade. Assim, temos:
Aplicando isso ao nosso sistema:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Isolando
:
Portanto, os valores próprios são complexos:
.
Passo 6
Com os valores próprios complexos, sabemos que as soluções do sistema terão uma parte exponencial e uma parte oscilatória (seno e cosseno). A solução geral do sistema será:
Aqui,
e
são vetores de constantes que serão determinados pelas condições iniciais do circuito, ou seja, pelos valores de
e
.
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde
e
são vetores constantes que dependem das condições iniciais do circuito elétrico.