Sabe-se que D_u f(2,3) = 1 e D_v f(1,1)=3, onde u e v são vetores unitários com mesma direção e sentido de 1,1 e (1, -1), respectivamente. Encontre nabla f(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá as derivadas direcionais de uma função em certos vetores e pede para encontrar o gradiente de no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, precisaremos entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e como montar um sistema de equações para achar os componentes do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função .

Passo 3

Nos foi dado que tem a mesma direção e sentido de , então precisamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário:

Passo 4

Analogamente, tem a direção e sentido de , então normalizamos também:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para cada vetor:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos simplificar as equações:

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

O gradiente de no ponto é:

Exercícios relacionados

Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
dd t[l x1 x2 ]=[rr -12 & -18 2 & -12 ]binomx1x2
Determine a solução do sistema onde x1 é a corrente através do indutor, x2 é a queda de voltagem através do capacitor e I(t) é a corrente fornecida pela fonte externa.
Sejam f e g duas funções diferenciáveis e considere phi(x, t) = f(x - t) + g(x + t). Mostre que phi satisfaz a equação da onda: φ_tt = φ_xx
Considere f(x, y) = x^2 + y^2 e a curva (x(t), y(t)) = (e^t, cos(t)).
c) Calcule g'(t) usando a regra da cadeia.
Encontre o domínio das seguintes funções:
(d) d(x) = 1/(x + 1) - raiz(-x).