Sabe-se que D_u f(2,3) = 1 e D_v f(1,1)=3, onde u e v são vetores unitários com mesma direção e sentido de 1,1 e (1, -1), respectivamente. Encontre nabla f(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá as derivadas direcionais de uma função em certos vetores e pede para encontrar o gradiente de no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, precisaremos entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e como montar um sistema de equações para achar os componentes do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente da função .

Passo 3

Nos foi dado que tem a mesma direção e sentido de , então precisamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário:

Passo 4

Analogamente, tem a direção e sentido de , então normalizamos também:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para cada vetor:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos simplificar as equações:

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

O gradiente de no ponto é:

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