Sabe-se que
e
, onde
e
são vetores unitários com mesma direção e sentido de
e
, respectivamente. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá as derivadas direcionais de uma função
em certos vetores e pede para encontrar o gradiente de
no ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, precisaremos entender como as derivadas direcionais se relacionam com o gradiente e como montar um sistema de equações para achar os componentes do gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
.
Passo 3
Nos foi dado que
tem a mesma direção e sentido de
, então precisamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário:
Passo 4
Analogamente,
tem a direção e sentido de
, então normalizamos também:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para cada vetor:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos simplificar as equações:
-
⇒ -
⇒
Passo 7
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Determine a solução do sistema onde
é a corrente através do indutor,
é a queda de voltagem através do capacitor e
é a corrente fornecida pela fonte externa.
Sejam
e
duas funções diferenciáveis e considere
. Mostre que
satisfaz a equação da onda:
Considere
e a curva
.
c) Calcule usando a regra da cadeia.
c) Calcule
Encontre o domínio das seguintes funções:
(d) .
(d)