Sejam
e
duas funções diferenciáveis e considere
. Mostre que
satisfaz a equação da onda:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
satisfaz a equação da onda, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções com várias variáveis e como aplicar a fórmula da equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Para isso, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, derivamos novamente para obter
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
, ou seja,
. Da mesma forma, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, derivamos novamente para obter
:
Resposta
Comparamos as derivadas e vemos que
e
. Portanto,
, mostrando que
satisfaz a equação da onda.