Sejam e duas funções diferenciáveis e considere . Mostre que satisfaz a equação da onda:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função satisfaz a equação da onda, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções com várias variáveis e como aplicar a fórmula da equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Para isso, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, derivamos novamente para obter :
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao espaço , ou seja, . Da mesma forma, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, derivamos novamente para obter :
Resposta
Comparamos as derivadas e vemos que e . Portanto, , mostrando que satisfaz a equação da onda.