Sejam f e g duas funções diferenciáveis e considere phi(x, t) = f(x - t) + g(x + t). Mostre que phi satisfaz a equação da onda: φ_tt = φ_xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função satisfaz a equação da onda, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções com várias variáveis e como aplicar a fórmula da equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de phi em relação ao tempo t, ou seja, . Para isso, derivamos phi duas vezes em relação a t.
A primeira derivada de phi em relação a t é:
Agora, derivamos novamente para obter :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de phi em relação ao espaço x, ou seja, . Da mesma forma, derivamos phi duas vezes em relação a x.
A primeira derivada de phi em relação a x é:
Agora, derivamos novamente para obter :

Resposta

Comparamos as derivadas e vemos que e . Portanto, , mostrando que phi satisfaz a equação da onda.

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